Osammanhängande förbund

Disjoint union (även disjoint union eller disjoint summa ) är en modifierad mängdunionsoperation i mängdteorin , som informellt består i union av disjunkta "kopior" av mängder . I synnerhet kommer den disjunkta föreningen av två finita mängder som består av och element att innehålla exakt element, även om mängderna själva skär varandra. $a$ $b$ $a+b$

Definition

Låt vara en familj av uppsättningar listade efter index från . Då är den osammanhängande föreningen av denna familj uppsättningen $\{A_i | i \in I\}$ $jag$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}

Elementen i en osammanhängande förening är ordnade par . Det finns alltså ett index som visar från vilken uppsättning elementet kom in i unionen. Var och en av uppsättningarna är kanoniskt inbäddade i den disjunktiva unionen som en uppsättning $(x, i)$ $i$ $A_{i}$ $A_{i}$

A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.

För uppsättningar och inte har gemensamma element, även om . I det degenererade fallet, när mängderna är lika med någon specifik , är den disjunkta föreningen den kartesiska produkten av mängden och mängden , dvs. $\forall i, j \in I: i \neq j$ $A_i^*$ $A_j^*$ $A_i \cap A_j \neq \varnothing$ $A_i \forall i \in I$ $A$ $A$ $jag$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\ gånger I.

Användning

Ibland kommer du att se notationen för den disjunkta föreningen av två uppsättningar, eller följande för en familj av uppsättningar: $A+B$

\sum_{i\in I}A_i.

Denna notation antyder att kardinaliteten för den disjunktiva föreningen är lika med summan av kardinaliteterna för mängderna i familjen. Som jämförelse har den kartesiska produkten en potens som är lika med produkten av potenserna.

I kategorin uppsättningar är den disjunkta föreningen den direkta summan . Termen disjunkt union används också i förhållande till föreningen av en familj av parvis disjunkta uppsättningar. I det här fallet betecknas den disjunkta föreningen som den vanliga föreningen av uppsättningar , sammanfallande med den. Denna notation finns ofta inom datavetenskap . Mer formellt, om är en familj av uppsättningar, alltså $C$

\bigcup_{A \in C} A

är en osammanhängande förening i den mening som avses ovan om och endast om för något och av följande villkor är uppfyllt: $A$ $B$ $C$

A \neq B \implicerar A \cap B = \varnothing.

Variationer och generaliseringar

Om alla uppsättningar av en disjunkt förening är utrustad med en topologi, så har den disjunkta föreningen av topologiska utrymmen (det vill säga mängder utrustade med en topologi) själv en naturlig topologi - den starkaste topologin så att varje inkludering är en kontinuerlig karta . En osammanhängande förening med denna topologi kallas en osammanhängande förening av topologiska rum.

Se även

Litteratur

Aleksandryan R. A., Mirzakhanyan E. A. Allmän topologi. - M . : Högre skola, 1979. - S. 132.
Spanier E. Algebraisk topologi . - M . : Mir, 1971. - S. 9 .
Melnikov O. V. et al. Allmän algebra: I 2 vol. T. 1. - M . : Nauka, 1990. - P. 13. - ISBN 5020144266 .