Halvdirekt produkt

En semidirekt produkt  är en konstruktion i gruppteori som låter dig bygga en ny grupp från två grupper och , och gruppens verkan på gruppen genom automorfismer.

Den halvdirekta produkten av grupper och över betecknas vanligtvis med .

Konstruktion

Låt en grupps agerande på en grupps utrymme med bevarandet av dess gruppstruktur ges. Detta betyder att en homomorfism av en grupp till gruppen av automorfismer av gruppen ges . En automorphism av gruppen som motsvarar ett element från under homomorphism betecknas med . För uppsättningen element av en halvdirekt produkt av grupper och över en homomorfism  tas en direkt produkt . Den binära operationen på bestäms av följande regel:

Egenskaper

1. Grupperna och är naturligt inbäddade i , och  är en normal undergrupp av .
2. Varje element är unikt nedbrytbart till en produkt , där och  är delar av grupperna och resp. (Den här egenskapen motiverar namnet på gruppen som en halvdirekt produkt av grupperna och .)
3. Den angivna åtgärden för gruppen på gruppen sammanfaller med åtgärden på kompisarna (i gruppen ).

Varje grupp med egenskaperna 1–3 är isomorf till en grupp (universalitetsegenskapen för den halvdirekta produkten av grupper).

• Operationens associativitet verifieras direkt. Förhållanden används

• Enheten för gruppen G är elementet , där och är enheter i grupperna N respektive H . (Jämställdhet används .)
  
• Elementet invers till är lika med .
  • För att bevisa att detta element lämnas inverst används likheten .
• Mappningarna och homomorft inbäddade grupperna N och H i gruppen G . Deras bilder har ett enda gemensamt element - identiteten för gruppen G .
• Kartan är en epimorfism av gruppen G på gruppen H med kärnan N . Detta innebär att gruppen N är normal i G .
• Likheten ger en nedbrytning av ett godtyckligt element i gruppen G till en produkt av elementen n och h från grupperna N respektive H . Det unika med expansionen följer också av denna jämlikhet.
• Likheten visar att verkan av gruppen H på N som ges av homomorfismen sammanfaller med verkan av H på N genom konjugeringar.
• För att bevisa den universella egenskapen hos en halvdirekt produkt måste man använda formeln . Det följer av det att en produkt i en grupp G med en enkelvärdig NH-nedbrytning (förutsatt att gruppen N är normal ) bestäms helt av multiplikationsreglerna inom undergrupperna N och H och reglerna för konjugering av element från N av element från H .
  

Exempel

Modulo 4-restgruppen ( ) verkar på (betraktad som tillsatsgruppen för motsvarande ring) på fyra olika sätt:

Följaktligen, på uppsättningen , kan du introducera 4 strukturer i gruppen - en halvdirekt produkt:

1. , var ;
2. , var ;
3. ;
4. ;

Det kan visas att de två sista grupperna är isomorfa medan de andra inte är det, och även att dessa exempel räknar upp alla grupper av ordning 20 som innehåller ett element av ordning 4 (med hjälp av Sylows satser ).

På liknande sätt används den halvdirekta produkten av grupper i allmänhet för att klassificera ändliga grupper.

Litteratur

• Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar.  — ISBN 5-88688-060-7 .