Ortogonal grupp

En ortogonal grupp är gruppen av alla linjära transformationer av ett dimensionellt vektorrum över ett fält som bevarar en fast icke-degenererad kvadratisk form på (det vill säga linjära transformationer så att för någon ). $n$ $V$ $k$ $F$ $V$ $\varphi$ $Q(\varphi(v))=Q(v)$ $v\in V$

Notation och relaterade definitioner

Beståndsdelar av en ortogonal grupp kallas ortogonala (med avseende på ) transformationer , såväl som bildar automorfismer (mer exakt, rymdautomorfismer med avseende på form ). $F$ $V$ $F$ $V$ $F$
Det betecknas med , , etc. När den kvadratiska formen inte är specificerad explicit, då är formen som ges av summan av kvadraterna av koordinater, det vill säga uttryckt av identitetsmatrisen , underförstått . $På}$ $O_n(k)$ $O_n(Q)$
Över fältet reella tal, en ortogonal grupp av obestämd form med signatur ( plus, minus) där , betecknas med , se t.ex. O(1,3) . $l$ $m$ $n = l + m$ $O(l,m)$

Egenskaper

Om karaktäristiken för huvudfältet inte är lika med två , är en icke- degenererad symmetrisk bilinjär form på associerad med , definierad av formeln $F$ $F$ $V$ $F(u,\;v)={\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2)).$

Sedan består den ortogonala gruppen exakt av de linjära transformationerna av utrymmet som bevarar , och betecknas med eller (när det är klart vilket fält och form vi pratar om) helt enkelt med .

V

F

O_n(k,\;F)

k

F

På}

Om är formmatrisen i någon bas av rymden , så kan den ortogonala gruppen identifieras med gruppen av alla sådana matriser med koefficienter i , så att $B$ $F$ $V$ $A$ $k$ $A^TBA=B.$ I synnerhet om basen är sådan att den är summan av kvadraterna av koordinaterna (det vill säga matrisen är identitet), så kallas sådana matriser ortogonala . $F$ $B$ $A$
Över fältet av reella tal är en grupp kompakt om och endast om formen är obestämd . $O_n({\mathbb R},\;V)$ $F$
- I detta fall representeras alla element från , för en lämplig bas, som en blockdiagonal matris $O_{n}({\mathbb {R} })$ ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matris}}\\\end{bmatrix}}$

där R1 , ..., Rk är 2x2 rotationsmatriser; Eulers rotationssats är ett specialfall av detta påstående.

Andra grupper

En ortogonal grupp är en undergrupp till den allmänna linjära gruppen GL( ). Elementen i en ortogonal grupp vars determinant är lika med 1 (denna egenskap beror inte på basen ) bildar en undergrupp - en speciell ortogonal grupp , betecknad på samma sätt som den ortogonala gruppen, men med tillägg av bokstaven "S ". , till sin konstruktion, är också en undergrupp till den speciella linjära gruppen . $n$ $SO(n,Q)$ $SO(n,Q)$ $SL(n)$

Se även

SO(8)

Länkar

Ortogonal grupp

Isaev A.P., Rubakov V.A. Teori om grupper och symmetrier. slutgrupper. Lögngrupper och algebror. Förlaget URSS. 2018. 491 s

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform