Fouriertransform på grupper

Fouriertransformen på grupper är en generalisering av den diskreta Fouriertransformen från cykliska till lokalt kompakta Abeliska grupper eller godtyckliga kompakta grupper.

Hjälpbegrepp

En finitdimensionell representation av en grupp är en avbildning från till en grupp av reversibla linjära transformationer av ett vektorrum så att för alla $G$ $\pi :G\mapsto GL(V)$ $G$ $V$ $g_{1},g_{2}\in G$

\pi (g_{1})\pi (g_{2})=\pi (g_{1}g_{2}).

Med andra ord, är en homomorfism av grupperna och .

\pi

G

GL(V)

Representationen kallas enhetlig om , var är gruppen av enhetliga transformationer av rummet . $\pi (G)\subset U(V)$ $U(V)$ $V$
representationer och kallas likvärdiga om övergången från en till en annan kan genomföras genom en enhetlig förändring av grunden , det vill säga om det sker en omvandling så att för ev. $\pi :G\mapsto GL(V)$ $\rho :G\mapsto GL(V)$ $T\in GL(V)$ $g\in G$ $T\pi (g)T^{-1}=\rho (g)$

En vy kallas en undervy av en vy om är ett underrum till och för någon och $\rho :G\mapsto GL(W)$ $\pi$ $W$ $V$ $g\in G$ $w\in W$

\rho (g)w=\pi (g)w.

Med andra ord, är ett invariant delrum och är begränsningen till .

W

\pi (g)

\rho (g)

\pi (g)

W

En representation sägs vara irreducerbar om den inte har några andra subrepresentationer än sig själv och en subrepresentation som mappar till ett nolldimensionellt delrum .

Den dubbla uppsättningen är den kompletta uppsättningen av icke-ekvivalenta irreducerbara enhetsrepresentationer. ${\hat {G}}$ $G$

Definition

Fouriertransformen av en funktion definieras som en matrisfunktion sådan att $f\in L^{2}(G)$ ${\hat {f}}\in L^{2}({\hat {G)))$

{\hat {f}}(\pi )=\sum \limits _{g\in G}f(g)\pi (g^{-1}).

I sådan notation skrivs den omvända transformationen som

{\textstyle f(g)={\frac {1}{|G|}}\sum \limits _{\pi \in {\hat {G}}}d_{\pi }{\text{tr}} [\pi (g){\hat {f}}(\pi )],}

var är dimensionen för det linjära utrymmet vars transformationer specificeras av .

{\displaystyle d_{\pi ))

\pi (g)

Motivation

I det kontinuerliga fallet motsvarar Fouriertransformen av en kvadratintegrerbar funktion en ortonormal basexpansion av Hilbert Lebesgue-rummet ${\hat {f))$ $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ $f(x)$ ${\displaystyle \{e^{2\pi iyx}|y\in \mathbb {R} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} )$

{\textstyle f(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(y)e^{2\pi iyx}dy.}

Fouriertransformen av en periodisk funktion motsvarar dess expansion i en ortonormal rymdbasis $f\in L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle \{e^{2\pi kx}|k\in \mathbb {Z} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

{\textstil f(x)=\summa \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(k)e^{2\pi ikx}.}

Funktionens diskreta Fouriertransform motsvarar expansionen i den ortonormala rymdbasen $f\in L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ ${\textstil \left\{{\frac {1}{\sqrt {n}}}e^{\frac {2\pi ikj}{n}}{\bigg |}k=0,1,\dots , n-1\höger\}}$ $L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(j)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\hat {f}}(k)e^ {\frac {2\pi ikj}{n))}

I allmänhet motsvarar Fouriertransformen på grupper expansionen av en funktion på någon ortonormal basis . $f\in L^{2}(G)$ $L^{2}(G)$

Litteratur

Terras A. Fourier Analysis on Finite Groups and Applications (engelska) - Cambridge University Press , 1999. - 456 sid. - ISBN 978-0-511-62626-5 - doi:10.1017/CBO9780511626265
Mensah Y. Fourier Transform on Groups and Applications (engelska) // Data-Driven Modeling for Sustainable Engineering - 2019. - P. 21-28. doi:10.1007/ 978-3-030-13697-0_2

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Symplektisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform