Lokalt kompakt utrymme

Ett lokalt kompakt utrymme är ett topologiskt utrymme , vars varje punkt har ett öppet grannskap , vars stängning är kompakt [1] [2] [3] . Ibland används en svagare definition: det räcker att varje punkt har en kompakt grannskap (öppenhet i grannskapet antas inte här) [4] [5] . När det gäller ett Hausdorff-utrymme är dessa definitioner likvärdiga.

Exempel

Varje kompakt utrymme är lokalt kompakt.
Varje euklidiskt utrymme är lokalt kompakt. Detta följer av Heine-Borel-lemmat , och även av det faktum att produkten av ett ändligt antal kompakta utrymmen är kompakt. $\mathbb {R} ^{n}$
Inget oändligt dimensionellt normerat utrymme är dock lokalt kompakt.
Varje topologisk grenrör är lokalt kompakt.
Diskreta utrymmen är lokalt kompakta (kallas ibland grenrör med dimension 0), medan oändliga diskreta utrymmen inte är kompakta.
Varje sluten delmängd av ett lokalt kompakt utrymme är lokalt kompakt.

Egenskaper

Ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme är ett helt vanligt utrymme .

En enpunktskomprimering av ett topologiskt utrymme är Hausdorff om och endast om det är lokalt kompakt och Hausdorff. $X$ $X$

Ett delutrymme X av ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme är lokalt kompakt om och endast om det finns slutna delmängder A och B så att . Detta innebär att en tät delmängd av ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme är lokalt kompakt om och endast om det är öppet. Dessutom, om ett delrum av ett godtyckligt Hausdorff-utrymme är lokalt kompakt, kan det skrivas som skillnaden mellan två slutna delmängder; det omvända påståendet är inte längre sant i detta fall. $X=A\omvänt snedstreck B$

Produkten av en familj av topologiska utrymmen är lokalt kompakt om och endast om alla utrymmen i familjen är lokalt kompakta och alla, utom kanske ett ändligt antal, är kompakta.

Bilden av ett lokalt kompakt utrymme under en kontinuerlig öppen mappning på ett Hausdorff-utrymme är lokalt kompakt.

Faktorutrymmen av lokalt kompakta Hausdorff-utrymmen genereras kompakt . Omvänt är varje kompakt genererat Hausdorff-utrymme ett kvotutrymme av något lokalt kompakt Hausdorff-utrymme.

Lokalt kompakta grupper

Definitionen av lokal kompaktitet är särskilt viktig i studien av topologiska grupper , eftersom ett Haar-mått kan införas på vilken Hausdorff lokalt kompakt grupp som helst , vilket gör att funktioner kan integreras i denna grupp. Lebesgue-måttet på är ett specialfall av Haar-måttet. $\mathbb {R}$

Pontryagin -dualen av en Abelsk topologisk grupp A är lokalt kompakt om och endast om A är lokalt kompakt. Närmare bestämt är kategorin av lokalt kompakta Abeliska grupper självdual med avseende på Pontryagin-dualitet. Lokalt kompakta Abeliska grupper används i harmonisk analys , en av de moderna sektionerna av vilka är baserad på deras studie.

Anteckningar

↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementär topologi. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 .
↑ P. S. Alexandrov. Introduktion till mängdlära och allmän topologi. — M .: GIITL, 1948.
↑ Yu. G. Borisovich, N. M. Bliznyakov, T. M. Fomenko. Introduktion till topologi. 2:a uppl., tillägg. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 .
↑ J.L. Kelly. Allmän topologi. — M .: Nauka, 1968.
↑ Munkres, James (1999). Topologi (2:a uppl.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .

Litteratur

Engelking R. Allmän topologi. —M.:Mir, 1986. — 752 sid.