Kompaktering

Kompaktifiering är en operation som omvandlar topologiska utrymmen till kompakta utrymmen .

Definition

Formellt definieras kompakteringen av ett utrymme som ett par , där är kompakt, en inbäddning sådan som är tät i . $X$ $(Y,\;f)$ $Y$ $f:X \till Y$ $f(X)$ $Y$

Exempel

Det verkliga projektiva planet är en av kompakteringarna av det euklidiska planet . Dess andra (enpunkts) kopaktifiering är homeomorf till en sfär.

Enpunktskomprimering

Enpunktskomprimeringen (eller Alexandrovkomprimeringen ) är anordnad enligt följande. Låt och öppna uppsättningar i är alla öppna uppsättningar , såväl som uppsättningar av formen , där har ett sluten och kompakt (in ) komplement. tas som en naturlig inbäddning i . då är kompakteringen Hausdorff om och bara om den är Hausdorff och lokalt kompakt . $Y=X \cup \{\infty\}$ $Y$ $X$ $O \cup \{\infty\}$ $O\subseteq X$ $X$ $f$ $X$ $Y$ $(Y,\;f)$ $Y$ $X$

Exempel

$\R \cup \{\infty\}$ med topologin konstruerad enligt ovan är ett kompakt utrymme. Det är lätt att bevisa att om två utrymmen är homeomorfa, så är motsvarande enpunktskomprimering också homeomorfa.
- I synnerhet, eftersom en cirkel i planet utan en punkt är homeomorf till c (ett exempel på en homeomorfism är en stereografisk projektion ), är hela cirkeln homeomorf till c . $\mathbb {R}$ $\R \cup \{\infty\}$
- På liknande sätt, homeomorf- dimensionell sfär . $\mathbb R^n \cup \{\infty\}$ $n$

Stone-Cech kompaktering

Vid komprimering av något fast utrymme kan man införa en delordning . Låt för två komprimeringar , , om det finns en kontinuerlig mappning sådan att . Det maximala (upp till en homeomorphism ) element i denna ordning kallas Stone-Cech kompaktering [1] och betecknas med . För att ett utrymme ska ha en Stone-Cech-komprimering som uppfyller Hausdorffs separationsaxiom , är det nödvändigt och tillräckligt att det uppfyller separationsaxiomet , det vill säga att det är helt regelbundet . $X$ $f_1 \leqslant f_2$ $f_1: X\till Y_1$ $f_2: X\till Y_2$ $g: Y_2 \till Y_1$ $g f_2 = f_1$ $\beta X$ $X$ $X$ $T_{3\frac{1}{2}}$

Anteckningar

↑ Även "Stonechech kompaktering" och "Chechstone kompaktering".