Öppet set

En öppen uppsättning är en uppsättning , vars varje element ingår i det tillsammans med något grannskap (i metriska utrymmen och i synnerhet på den verkliga linjen). Till exempel är det inre av en boll (utan gräns) ett öppet set, men bollen tillsammans med gränsen är inte öppen.

Termen "öppen mängd" tillämpas på delmängder av topologiska utrymmen och karaktäriserar i detta fall inte "själv" mängden på något sätt (varken i betydelsen mängdteori eller ens i betydelsen av den topologiska strukturen som induceras på den) [1] [2] . En öppen uppsättning är ett grundläggande begrepp i allmän topologi .

Euklidiska rymden

Låt det finnas någon delmängd av det euklidiska rummet . Då kallas det öppen om sådan att , var är punktens ε-grannskap $U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $U$ $\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\subset U$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\equiv \left\{x\in {\mathbb {R}}^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \right\ }$ $x_{0}.$

Med andra ord, en uppsättning är öppen om någon av dess punkter är inre .

Till exempel är ett intervall som en delmängd av den reella linjen en öppen mängd. Samtidigt är segmentet eller halvintervallet inte öppet, eftersom punkten tillhör uppsättningen, men ingen av dess grannskap ingår i denna uppsättning. $(a,b)$ $[a,b]$ $[a, b)$ $a$

Metriskt utrymme

Låt vara lite metriskt utrymme och . Då kallas det öppen om sådan att , där är ε-grannskapet av punkten med avseende på metriska . Med andra ord, en mängd i ett metriskt utrymme kallas en öppen mängd om varje punkt i mängden ingår i denna mängd tillsammans med någon öppen boll centrerad vid punkten [3] . $(X,\rho)$ $U\delmängd X$ $U$ $\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\subset U$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\equiv \{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<\varepsilon \}$ $x_{0}$ $\rho$ $U$ $(X,\rho)$ $x_{{0}}$ $U$ $x_{{0}}$

Topologiskt utrymme

En generalisering av ovanstående definitioner är begreppet en öppen mängd från allmän topologi.

Ett topologiskt utrymme innehåller per definition en "lista" över dess öppna delmängder , en "topologi" definierad på . En delmängd så att den är ett element i topologin (dvs. ) kallas en öppen mängd med avseende på topologin . $(X,{\mathcal {T}})$ $\mathcal{T}$ $X$ $U\delmängd X$ $U\in {\mathcal {T}}$ $\mathcal{T}$

En viktig underklass av öppna uppsättningar bildas av kanoniskt öppna uppsättningar , som var och en är det inre ( öppen kärna ) i någon sluten uppsättning (och därför sammanfaller med det inre av dess stängning). Alla öppna uppsättningar ingår i den minsta kanoniskt öppna uppsättningen - detta kommer att vara insidan av förslutningen av uppsättningen [4] . $G$ $G$

Historik

Öppna set introducerades av René-Louis Baer 1899. [5]

Se även

Anteckningar

↑ Appert, Antoine. Sur le meilleur terme primitif en topologie (franska) // Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques. - 1982. - Nr 3 . — S. 65 . Arkiverad från originalet den 17 februari 2009.
↑ öppet set på everything2.com
↑ Shilov G. E. Matematisk analys. Specialkurs. — M.: Fizmatlit, 1961. — S. 29
↑ Alexandrov P. S. , Pasynkov V. A. Introduktion till dimensionsteorin. — M .: Nauka, 1973. — 576 sid. - C. 24-25.
↑ R. Baire. Sur les fonctions de variables reelles. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922) 3.1 (1899), s. 1–123.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)