Interiör

Det inre av en uppsättning är ett koncept i allmän topologi , som betecknar föreningen av alla öppna delmängder av en given uppsättning. Inre punkter kallas inre punkter .

Definition

Låt ett topologiskt utrymme ges där är en godtycklig mängd , och är topologin definierad på den . Låt också ges en delmängd . $(X,{\mathcal {T}}),$ $X$ $\mathcal{T}$ $A\delmängd X$

Nedan betraktas öppenheten för delmängder som delmängder av allting (till exempel nödvändigtvis öppen som en delmängd av sig själv, men inte nödvändigtvis öppen i hela det topologiska utrymmet), medan det inte är explicit indikerat, och öppenhet betecknas som medlemskap i det . $B\delmängd A$ $X$ $A$ $X$ $\mathcal{T}$

Då kan det inre av en uppsättning definieras på flera likvärdiga sätt: $A$

Interiören är sammanslutningen av alla öppna delmängder : $B\delmängd A$ $\operatorname {int} (A)=\bigcup \limits _{B\in {\mathcal {T)),\;B\subset A}B$ .
Interiören är den största öppna delmängden genom inkludering : $A$ $(\operatörsnamn {int} (A)\i {\mathcal {T)))\wedge (\operatörsnamn {int} (A)\delmängd A)\quad \wedge \quad \forall B\;(( B\in {\mathcal {T)))\wedge (B\subset A)\Högerpil (B\subset \operatörsnamn {int} (A)))$ .

Interiören är mängden av alla inre punkter , där en punkt kallas inre om och endast om det finns en öppen mängd så att : $x\i A$ $B\delmängd A$ $x\i B$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A)=\left\{x\i A:\exists B\subset A,x\in B,B\in {\mathcal {T))\right\))$ .

Likvärdigheten mellan definitioner följer av det faktum att föreningen av vilken familj av öppna uppsättningar som helst är öppen.

Egenskaper

Den inre driften är en enhetlig operation på familjen av alla delmängder . $X$
Interiören är en öppen uppsättning . $\operatorname {int} (A)$
En uppsättning är öppen om och endast om den sammanfaller med dess inre: $A$ $(A\in {\mathcal {T))\Leftrightarrow \left(A=A^{0}\right)$ .
- Med andra ord, i en öppen uppsättning är alla punkter interna, och varje uppsättning vars alla punkter är interna är öppna.
Den inre driften är idempotent : $\operatörsnamn {int} (\operatörsnamn {int} (A))=\operatörsnamn {int} (A)$ .
Den invändiga operationen bevarar delordningen av delmängder genom att inkludera: $(A\subset B)\Rightarrow \left(\operatörsnamn {int} (A)\subset \operatörsnamn {int} (B)\right)$ .
I ett metriskt utrymme har definitionen av en inre punkt följande form. Låta vara ett metriskt utrymme med metriskt , och vara dess delmängd. En punkt är intern i om och endast om det finns sådan att . Med andra ord, går in tillsammans med en boll med radie centrerad vid . $X$ $d$ $M$ $x\i M$ $M$ $\varepsilon >0$ $\forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M$ $x$ $M$ $\varepsilon$ $x$

Exempel

$\operatörsnamn {int} (\emptyset )=\emptyset .$
If är en finit delmängd av det euklidiska rummet med standardtopologin , då . $A\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $\operatörsnamn {int} (A)=\emptyset$
If är en riktig linje med standardtopologin, och , då $X={\mathbb {R}}$ $[a,b]\subset {\mathbb {R}}$ $\operatörsnamn {int} ([a,b])=(a,b).$
Om är ett diskret utrymme , då för alla vi har . $X$ $A\delmängd X$ $\operatörsnamn {int} (A)=A$