Gräns (topologi)

Gränsen för mängden A är mängden av alla punkter som är belägna godtyckligt nära båda punkterna i mängden A och till punkter utanför mängden A .

Definition

Låt ett topologiskt utrymme ges , där är en godtycklig mängd och är en topologi definierad på . Låt mängden beaktas . Då kallas punkten gränspunkten för mängden endast om det är sant för något av dess grannskap som ligger helt i detta topologiska utrymme: $(X,{\mathcal {T}})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$ $A\subsetX.$ $x_{0}\i X$ $A$ $U\ni x_{0},$

U\cap A\neq \varnothing

och på samma gång

U\cap A^{\complement }\neq \varnothing .

Mängden av alla gränspunkter i mängden kallas gränsen för mängden ( in ) och betecknas eller om det är nödvändigt att betona att gränsen betraktas i förhållande till det omgivande rummet . $A$ $A$ $X$ $\partiell A$ $\partial _{X}A$ $X$

Egenskaper

$\partial A=\partial \left(A^{{\komplement }}\höger);$
$\partial A={\bar {A}}\setminus A^{\circ };$
$\partiell A$ är en sluten uppsättning ;
$A$ är en öppen uppsättning om och endast om $A\cap \partial A=\emptyset ;$
$A$ är en sluten uppsättning om och endast om $\partiell A\delmängd A;$
$A$ är en öppen och samtidigt stängd uppsättning om och endast om $\partial A=\emptyset ;$
$\partial \partial A\subset \partial A$ , och jämlikhet uppnås om och bara om $\partial \partial A=\partial A$ $(\partial A)^{\circ }=\emptyset ;$
$\partial \partial \partial A=\partial \partial A.$

Exempel

Betrakta en tallinje med standardtopologin . Sedan: för : $\mathbb {R}$ $-\infty <a<b<+\infty$

För : $-\infty <a<b<+\infty$ $\partial _{\mathbb {R} }(a,b)=\partial _{\mathbb {R} }(a,b]=\partial _{\mathbb {R} }[a,b) =\partial _{\mathbb {R} [a,b]=\{a,b\};$
$\partial _{\mathbb {R} }\mathbb {R} =\varnothing ;$
$\partial _{\mathbb {R} }\mathbb {Q} =\mathbb {R} .$

I det här fallet är det mycket viktigt med avseende på vilket omgivande topologiskt utrymme som gränsen för uppsättningen beaktas.

Till exempel, givet en standardtopologi på Då är gränsen för en öppen cirkel med avseende på denna topologi lika med en cirkel eftersom grannskapet, med vars hjälp gränsen för mängden definieras, är en platt figur (till exempel, en cirkel med vilken radie som helst som inte är noll kan fungera som en grannskap) och för att någon grannskap till gränspunkten ska kunna skära både med cirkeln och med dess komplement måste gränspunkten vara på cirkeln $\mathbb {R} ^{2}.$ ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\kolon x^{2}+y^{2}<1\))$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1\},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}<1\},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}\geqslant 1\},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1\}.$

Om vi betraktar standardtopologin, kommer gränsen för den öppna cirkeln att vara en sluten cirkel, eftersom inuti grannskapet redan finns en 3-dimensionell figur (säg en boll), och cirkelns komplement är relativt redan . Följaktligen, i det här fallet, kommer inte bara vilken punkt som helst i cirkeln utan också vilken punkt som helst i den ursprungliga uppsättningen att falla under definitionen av gränspunkten för en öppen cirkel . $\mathbb {R} ^{3},$ ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\))$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}\leqslant 1\},$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\))$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}\geqslant 1\}\cup \mathbb {R} ^{ 2}\ gånger (\mathbb {R} \setminus \{0\})$ ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\))$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}=1\},$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}.$

Gräns ​​(topologi)

Definition

Egenskaper

Exempel

Se även

Gräns (topologi)