Cirkel

En cirkel är en sluten plan kurva , som består av alla punkter på planet på samma avstånd från en given punkt som ligger i samma plan som kurvan [1] : denna punkt kallas cirkelns mittpunkt . Segmentet som förbinder centrum med valfri punkt på cirkeln kallas radie ; radien kallas även längden på detta segment. Cirkeln delar planet i två delar [2] — ändlig inre och oändlig yttre. Det inre av en cirkel kallas en cirkel ; gränspunkter (det vill säga själva cirkeln), beroende på tillvägagångssättet kan cirkeln inkludera eller inte.

Praktisk konstruktion av en cirkel är möjlig med en kompass .

En cirkel med nollradie (en degenererad cirkel) är en punkt; vidare är detta fall uteslutet från beaktande, om inte annat anges.

En cirkel kallas enhet om dess radie är lika med en. Enhetscirkeln är ett av trigonometrins grundläggande objekt .

Hädanefter betecknar bokstaven cirkelns radie. $R$

Ackord, bågar och tangenter

1 - sekant , 2 - ackord AB (markerat i rött), 3 - segment (markerat i grönt), 4 - bågar
Cirkelsektorer

En rät linje kan inte ha mer än två punkter gemensamma med en cirkel.

En linje som skär en cirkel i två olika punkter kallas sekant . Ett sekantsegment inuti en cirkel kallas ett ackord . Kordan som passerar genom cirkelns mitt kallas diametern ; samma term används för dess längd. Diametern är två gånger radien: den delar cirkeln i två lika delar och är därför dess symmetriaxel . Diametern är större än någon annan ackord [3] . $D=2R,$

Ackordet bryter cirkeln i två delar, så kallade segment av cirkeln . Två olika radier bryter också cirkeln i två delar, så kallade sektorer av cirkeln (se bilder) [3] .

Alla två icke sammanfallande punkter på cirkeln delar den i två delar. Var och en av dessa delar kallas en cirkelbåge . En båge kallas en halvcirkel om segmentet som förbinder dess ändar är en diameter.

För en given cirkel sker följande egenskaper [3] .

Ackord på samma avstånd från mitten är lika. Omvänt, om två ackord är lika långa, är de lika långt från mitten.
Lika ackord motsvarar lika bågar och vice versa.

En linje som har exakt en punkt gemensam med en cirkel kallas tangent till cirkeln, och deras gemensamma punkt kallas linjens och cirkelns tangentpunkt. En tangent till en cirkel är alltid vinkelrät mot dess radie (och diameter) ritad vid kontaktpunkten. Det vill säga radien är samtidigt normalen till cirkeln [4] .

Segmenten av tangenter till cirkeln, ritade från en punkt som inte ligger på cirkeln, är lika stora och bildar lika stora vinklar med linjen som går genom denna punkt och cirkelns centrum [5] .

Vinklar

Den inskrivna vinkeln θ är lika med halva värdet av den centrala vinkeln 2 θ baserat på samma båge (rosa)
Till beräkningen av längden på bågen och ackordet

En mittvinkel är en vinkel med en vertex i cirkelns mittpunkt. En inskriven vinkel är en vinkel vars spets ligger på en cirkel och vars sidor skär cirkeln. De säger att de centrala eller inskrivna vinklarna är baserade på en båge huggen i en cirkel av deras strålar, eller på ett ackord som understryker denna båge.

Den centrala vinkeln kan tas som vinkelmåttet på den båge som den vilar på. Den centrala vinkeln som bildas av en cirkelbåge, lika lång som radien, tas i matematik som en måttenhet för vinklar och kallas radian .

Det följer av definitionen av radianen att längden av en cirkelbåge är relaterad till den centrala vinkeln , baserat på denna båge, genom en enkel relation [6] : i detta fall är längden på kordan som understryker samma båge lika stor till Eftersom omkretsen är lika med , med ökande vinkel, ändras värdet på dess radianmått från 0 till $L$ $\theta$ $L=R\theta ,$ $2R\sin {\theta \over 2}<L.$ $2\pi R$ $2\pi .$

Den yttre vinkeln för en inskriven vinkel är vinkeln som bildas av en sida och fortsättningen av den andra sidan av den inskrivna vinkeln (vinkeln θ är brun i figuren). Den yttre vinkeln för en inskriven vinkel är lika med den inskrivna vinkeln baserat på samma korda på andra sidan.

Vinkeln mellan cirkeln och linjen är vinkeln mellan sekantlinjen och en av de två tangenterna till cirkeln i skärningspunkten mellan linjen och cirkeln.

Egenskaper för inskrivna vinklar :

En inskriven vinkel är antingen lika med hälften av den centrala vinkeln baserat på dess båge, eller kompletterar hälften av denna vinkel till 180°. En inskriven vinkel baserad på en båge som är en halv cirkel lång är alltid en rät vinkel (lika med 90°).
En inskriven vinkel ändrar inte sitt värde när dess vertex flyttas längs cirkeln.
Två inskrivna vinklar som täcker samma båge är lika.

Andra egenskaper:

Vinkeln mellan två sekanter ritade från en punkt som ligger utanför cirkeln är lika med halva skillnaden mellan måtten på bågarna som ligger mellan sekanterna.
Vinkeln mellan korsande ackord är lika med halva summan av måtten av bågen som ligger i vinkeln och bågen mittemot den.
Vinkeln mellan en tangent och ett ackord som har en gemensam punkt är lika med halva vinkelmåttet på bågen subtraherad av ackordet.

Egenskaper

Isoperimetrisk olikhet : Av alla slutna kurvor av en given längd, begränsar en cirkel området med maximal area.
Genom tre punkter som inte ligger på samma räta linje är det möjligt att rita en cirkel, och dessutom bara en.
Två cirklar sägs beröra om de har en enda gemensam punkt. Kontaktpunkten för två cirklar ligger på en rät linje som går genom deras centrum.
Sekantsatsen : Om en sekant dras genom en godtycklig punkt , så beror produkten av avstånden från denna punkt till skärningspunkterna mellan sekanten och cirkeln inte på valet av sekanten (och är lika med den absoluta värdet på graden av punkten med avseende på cirkeln ). Om en punkt ligger utanför cirkeln kan en tangent dras från den till cirkeln. Kvadraten på längden av tangentsegmentet till kontaktpunkten kommer att vara lika med samma värde. $E$ $E$

Som ett specialfall av den föregående, när två ackord skär varandra i en godtycklig punkt , erhålls segment, vars produkt av längderna för en ackord är lika med motsvarande produkt för den andra (se figuren), dvs. $E$ $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

Formler

Omkrets:

C=2\pi R=\pi D

Cirkelradie:

R={\frac {C}{2\pi }}={\frac {D}{2}}

Cirkeldiameter:

D={\frac {C}{\pi }}=2R

Arean av en cirkel med radien R :

S=\pi R^{2}={\frac {\pi D^{2}}{4}}

Sektorns yta , begränsad av den centrala vinkeln α , mätt i grader, med radien R :

{\displaystyle S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ ))))

Segmentområde , avgränsat av en cirkelbåge, mittvinkel α , korda:

S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ }}}-{\frac {R^{2}\sin \alpha }{2}}

Historik

Cirkeln, tillsammans med den räta linjen, är den vanligaste kurvan inom nästan alla områden av mänsklig aktivitet. Historien om dess forskning och tillämpning går tillbaka till antiken; Uppfinningen av hjulet gav särskild vikt åt detta ämne . Forntida forskare ansåg raka linjer och cirklar som det enda exemplet på "perfekta" kurvor, därför ansågs endast konstruktioner med kompass och linjal i geometri vara acceptabla , och planeternas rörelse modellerades som en påläggning av rotationer längs cirklar . Teorin om cirklar ägnas åt den tredje boken " Begynnelser " av Euclid .

Även under antiken upptäcktes att förhållandet mellan omkretsen av en cirkel och dess diameter ( tal π ) är detsamma för alla cirklar. Ett historiskt viktigt ämne för århundraden av forskning har varit förfining av detta förhållande, såväl som försök att lösa problemet med " cirkelkvadrering " . Senare ledde utvecklingen av teorin om cirklar till skapandet av trigonometri , teorin om oscillationer och många andra praktiskt viktiga grenar av vetenskap och teknik.

Analytisk geometri av cirklar

När det gäller analytisk geometri är en cirkel en enkel andra ordningens plan algebraisk kurva . Cirkeln är ett specialfall av en ellips , där halvaxlarna är lika, och därför är cirkeln en konisk sektion .

Kartesiska koordinater

Den allmänna ekvationen för en cirkel skrivs som:

x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0,

eller

\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2},

var

2x_{0}=-A,\;2y_{0}=-B,\;2R={\sqrt {A^{2}+B^{2}-4C)).

Punkten är cirkelns mittpunkt och dess radie. $\left(x_{0},y_{0}\right)$ $R$

Ekvation för en cirkel med en radie centrerad vid origo : $R$

x^{2}+y^{2}=R^{2}.

Ekvationen för en cirkel som går genom punkter som inte ligger på en rät linje (med hjälp av determinanten ): $\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right),$

{\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{ 2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3 }&1\end{vmatrix}}=0.

Sedan bestäms uttryckligen koordinaterna för cirkelns centrum av formlerna:

x_{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {y_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3} ^{2}-y_{3}^{2})+y_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1 }^{2})+y_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{ x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}

y_{0}={\frac {1}{2}}{\frac {x_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3}^ {2}-y_{3}^{2})+x_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1} ^{2})+x_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{x_ {1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}

En cirkel kan också beskrivas med hjälp av en parametrisk ekvation :

{\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases)),\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .

I det kartesiska koordinatsystemet är cirkeln inte en funktionsgraf , men den kan beskrivas som föreningen av graferna för följande två funktioner:

y=y_{0}\pm {\sqrt {R^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.

Om cirkelns mittpunkt sammanfaller med ursprunget har funktionerna formen:

y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.

Polära koordinater

Cirkel med radie centrerad vid punkt : $R$ $\left(\rho _{0},\phi _{0}\right)$

\rho ^{2}-2\rho \,\rho _{0}\cos \left(\phi -\phi _{0}\right)+\rho _{0}^{2}=R^{ 2}.

Om de polära koordinaterna för cirkelns centrum, så beskrivs cirkeln som passerar genom origo med ekvationen: $\rho _{0}=R,\;\phi _{0}=\alpha ,$

\rho (\varphi )=2R\cos \,(\varphi -\alpha ),\;\;\;\alpha -{\frac \pi 2}\leqslant \varphi \leqslant \alpha +{\frac \pi 2}.

Om centrum är ursprunget till koordinaterna, kommer ekvationen att se ut

\rho=R.

Komplext plan

På det komplexa planet ges cirkeln av formeln:

\left|z-z_{0}\right|=R

eller i parametrisk form

z=z_{0}+Re^{it},\,t\in \mathbb {R} .

Cirklar i rymden

I rymden kan en cirkel med radie centrerad i en punkt definieras som konturen av en diametral sektion av en sfär $R$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}

plan

a\cdot (x-x_{0})+b\cdot (y-y_{0})+c\cdot (z-z_{0})=0

där finns parametrar som inte samtidigt är lika med noll; det vill säga alla punkter som ligger på en given cirkel är lösningar till systemet $a,b,c$

{\begin{cases}(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2} ,\\a{\cdot }(x-x_{0})+b{\cdot }(y-y_{0})+c{\cdot }(z-z_{0})=0.\end{ fall}}

Till exempel, när man löser detta system kan man ställa in det parametriskt enligt följande: $a=c\neq 0$

{\begin{cases}x=x_{0}+{\dfrac {R}{{\sqrt {a^{2}+c^{2))))}\cdot \!\left(c\cdot \ cos t-{\dfrac {a\cdot b\cdot \sin t}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2))))}\right)\!,\ \[10pt]y=y_{0}+{\dfrac {R\cdot {\sqrt {a^{2}+c^{2)))){{\sqrt {a^{2}+b^{ 2}+c^{2)))))\cdot \sin t,\\[10pt]z=z_{0}-{\dfrac {R}{{\sqrt {a^{2}+c^{ 2}}}}}\cdot \!\left(a\cdot \cos t+{\dfrac {b\cdot c\cdot \sin t}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+ c^{2}}}}}\right)\!,\end{cases}}t\i [0;2\pi ).

Tangenter och normaler

Ekvationen för en tangent till en cirkel i en punkt ges av ekvationen $\left(x_{1},y_{1}\right)$

\left({\frac {A}{2}}+x_{1}\right)x+\left({\frac {B}{2}}+y_{1}\right)y+\left({\frac {A}{2}}x_{1}+{\frac {B}{2}}y_{1}+C\right)=0.

Normalekvationen i samma punkt kan skrivas som

{\frac {x-x_{1}}{2x_{1}+A}}={\frac {y-y_{1}}{2y_{1}+B}}.

Koncentriska cirklar

Cirklar med gemensamt centrum men olika radier kallas koncentriska . Två cirklar ges av ekvationerna:

x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_ {2}x+B_{2}y+C_{2}=0

är koncentriska om och endast om och $A_{1}=A_{2}$ $B_{1}=B_{2}.$

Ytterligare information

Definition av trianglar för en cirkel

En triangel ABC kallas inskriven i en cirkel (A,B,C) om alla dess tre hörn A , B och C ligger på denna cirkel. I det här fallet kallas cirkeln för den omskrivna cirkeln av triangeln ABC (Se omskriven cirkel ).
En tangent till en cirkel ritad genom valfri vertex i en triangel som är inskriven i den är antiparallell mot sidan av triangeln som är motsatt den givna vertexen.
En triangel ABC sägs vara omskriven kring en cirkel (A',B',C') om alla dess tre sidor AB , BC och CA vidrör denna cirkel vid vissa punkter C' , A' respektive B' . I det här fallet kallas cirkeln den inskrivna cirkeln av triangeln ABC (Se. Inskriven cirkel ).
En triangel ABC kallas utanför cirkeln för en cirkel (A',B',C') om alla 3 dess sidor AB , BC och CA vidrör denna cirkel vid vissa punkter C' , A' respektive B' , nämligen: en av de 2 sidorna berör direkt, samt förlängningar av 2 andra sidor utanför triangeln. I det här fallet kallas cirkeln för triangelns ABC -cirkel (Se Excircle ).

Varianter av definition av en cirkel

En cirkel med diameter AB är en figur som består av punkterna A, B och alla punkter i planet från vilka segmentet AB är synligt i rät vinkel (Definition genom en vinkel baserad på diametern på en cirkel ).
En cirkel med ett korda AB är en figur som består av punkterna A, B och alla punkter i planet från vilka segmentet AB är synligt i en konstant vinkel på ena sidan lika med den inskrivna vinkeln för bågen AB , och i en annan konstant vinkel på andra sidan lika med 180 grader minus den inskrivna vinkeln för bågen AB specificerad ovan (definierad av den inskrivna vinkeln ).
En figur som består av sådana punkter att förhållandet mellan längderna av segmenten AX och BX är konstant: det är en cirkel (Definition genom cirkeln av Apollonius ). $x,$ ${\frac {AX}{BX}}=c\neq 1,$
Siffran som består av alla sådana punkter, för var och en av vilka summan av de kvadratiska avstånden till två givna punkter är lika med ett givet värde, större än halva kvadraten på avståndet mellan de givna punkterna, är också en cirkel (Definition genom Pythagoras sats för en godtycklig rätvinklig triangel inskriven i en cirkel, med en hypotenusa , som är cirkelns diameter).
En cirkel är en sluten, själv-icke-korsande figur med följande egenskap. Om några ackord AB , CD , GF etc. dras genom en godtycklig punkt E inuti den, så är likheterna giltiga: (se fig.). Jämlikheter kommer alltid att vara uppfyllda oavsett val av punkt E och riktningarna för ackorden som dras genom den (Definition genom korsande ackord ). $AE\cdot EB=CE\cdot ED=GE\cdot EF$

En cirkel är en sluten, själv-icke-korsande figur med följande egenskap. Om två tangenter dras genom en godtycklig punkt M utanför den till punkterna för deras kontakt med cirkeln, till exempel A och B , så kommer deras längder alltid att vara lika: . Likhet kommer alltid att gälla oavsett val av punkt M (Definition via lika tangenter ). $MA=MB$
En cirkel är en sluten, själv-icke-korsande figur med följande egenskap. Förhållandet mellan längden av något av dess ackord och sinus för någon av dess inskrivna vinklar , baserat på detta ackord, är ett konstant värde lika med diametern på denna cirkel (Definition genom sinussatsen ).
En cirkel är ett specialfall av en ellips , där avståndet mellan brännpunkterna är noll (Definition genom en degenererad ellips ).
Cirkeln är en sinusformad spiral vid . $n=1$

Relaterade definitioner för två cirklar

Två cirklar som har ett gemensamt centrum kallas koncentriska .
Två cirklar som bara har en gemensam punkt sägs vara externt tangerande om deras cirklar inte har några andra gemensamma punkter, och internt om deras cirklar ligger inuti varandra.
Två cirklar som har två gemensamma punkter kallas skärande . Deras cirklar (avgränsade av dem) skär varandra i ett område som kallas ett dubbelcirkelsegment.
Vinkeln mellan två skärande (eller tangent-) cirklar är vinkeln mellan deras tangenter ritade vid en gemensam skärningspunkt (eller tangens).
Vinkeln mellan två skärande (eller tangent) cirklar kan också betraktas som vinkeln mellan deras radier (diametrar) ritade vid en gemensam skärningspunkt (eller tangens).
Eftersom för varje cirkel dess radie (eller diameter) och tangenten som dras genom någon punkt i cirkeln är ömsesidigt vinkelräta, kan radien (eller diametern) betraktas som en normal till cirkeln konstruerad vid dess givna punkt. Därför kommer de två typerna av vinklar som definieras i de två föregående två styckena alltid att vara lika med varandra, som vinklar med inbördes vinkelräta sidor.
Den radikala axeln för två cirklar är platsen för punkter vars grader med avseende på två givna cirklar är lika. Med andra ord, längden på fyra tangenter som dras till två givna cirklar från vilken punkt M som helst på ett givet punktpunkt är lika .

Definitioner av vinklar för två cirklar

Vinkeln mellan två skärande cirklar är vinkeln mellan tangenterna till cirklarna vid skärningspunkten för dessa cirklar. Båda vinklarna mellan två skärande cirklar är lika.
Vinkeln mellan två icke-korsande cirklar är vinkeln mellan två gemensamma tangenter till två cirklar, bildade vid skärningspunkten för dessa två tangenter. Skärningspunkten för dessa två tangenter måste ligga mellan de två cirklarna och inte på sidan av en av dem (denna vinkel beaktas inte). Båda vertikala vinklarna mellan två icke-korsande cirklar är lika.

Ortogonalitet (vinkelrätt)

Två cirklar som skär varandra i räta vinklar kallas ortogonala ( vinkelräta ). Två cirklar ges av ekvationerna:

x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_ {2}x+B_{2}y+C_{2}=0

är ortogonala om och endast om följande villkor är uppfyllt:

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=2\vänster(C_{1}+C_{2}\höger).

Med andra ord, två cirklar som skär varandra i punkterna A och B med centrum O och O' kallas ortogonala om de är räta vinklar OAO' eller OBO' . Det är detta tillstånd som garanterar en rät vinkel mellan cirklarna. I detta fall är radierna (normalerna) för de två cirklarna som dras till skärningspunkten vinkelräta. Därför är tangenterna för två cirklar som dras till skärningspunkten också vinkelräta. Cirkelns tangent är vinkelrät mot radien (normal) som dras till kontaktpunkten. Vanligtvis är vinkeln mellan kurvorna vinkeln mellan deras tangenter ritade vid deras skärningspunkt.

Det kan finnas ytterligare ett ytterligare villkor. Låt två cirklar som skär varandra i punkterna A och B ha mittpunkter för skärande bågar i punkterna C och D , det vill säga bågen AC är lika med bågen CB , bågen AD är lika med bågen DB . Då kallas dessa cirklar ortogonala om CAD och CBD är räta vinklar .
I teorin om inversion introduceras: en cirkel eller en rät linje, vinkelrät mot cirkeln . I detta fall bestäms vinkelrätheten på samma sätt som ovan. $\Gamma$
I inversionsteorin är en linje vinkelrät mot en cirkel om den passerar genom mitten av den senare. $\Gamma$

Relaterade definitioner för tre cirklar

Tre cirklar kallas ömsesidigt tangerande (korsande) om två av dem vidrör (skär) varandra.
Inom geometri är det radikala mitten av tre cirklar skärningspunkten för de tre radikalaxlarna i par av cirklar. Om det radikala centret ligger utanför alla tre cirklarna, så är det centrum för den enda cirkeln ( radikalcirkeln ) som skär de tre givna cirklarna ortogonalt .

Arkimedes Lemma

Arkimedes Lemma . Om cirkeln är inskriven i segmentet av cirkeln subtraherad av ackordet och berör bågen vid punkten , och ackordet är tangent till punkten , då är linjen vinkelns bisektris . Arkimedes Lemma spelar en viktig roll i konstruktionen av den iscirkulära transformationen . $före Kristus$ $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{1}A_{2}$ $BA_{1}C$

Bevis

Låt vara en homotet som tar en liten cirkel till en stor. Då är det klart vad som är centrum för denna homotet. Sedan kommer linjen att gå in i någon linje som tangerar storcirkeln, och kommer att gå till en punkt på denna linje och som hör till storcirkeln. När vi minns att homoteti förvandlar linjer till linjer parallella med dem, förstår vi att . Låt och vara en punkt på linjen som är skarp, och var en punkt på linjen som är skarp. Sedan är sedan en tangent till storcirkeln . Därför - likbent, och därför , Det är - vinkelns bisektrik . $G$ $A_{1}$ $före Kristus$ $a$ $A_{2}$ $a\parallel BC$ $G(A_{2})=A_{3}$ $D$ $a$ $\angle CA_{3}D$ $E$ $a$ $\angle BA_{3}E$ $a$ $\angle CA_{3}D$ $=$ ${\displaystyle \angle CBA_{3))$ ${\displaystyle =\angle BCA_{3}E=\angle BCA_{3))$ ${\displaystyle \bigtriangleup BCA_{3))$ ${\displaystyle \angle BA_{1}A_{3}=\angle CA_{1}A_{3))$ $A_{1}A_{2}$ $\angle BA_{1}C$

Descartes sats för radierna för fyra parvisa tangentcirklar

Descartes sats säger att radierna för alla fyra ömsesidigt tangentiella cirklar uppfyller någon andragradsekvation . De kallas ibland Soddy- cirklar .

Cirkulär rörelse

Multidimensionell generalisering

En generaliserad cirkel kan definieras för vilken matematisk struktur som helst där begreppet avstånd är givet. Speciellt en generalisering för högdimensionell euklidisk rymd är hypersfären ; i det tredimensionella rummet är det en vanlig sfär . I sfärisk geometri spelas en viktig roll av cirklar på sfären vars centrum sammanfaller med sfärens mitt (" stora cirklar ").

I kultur och mystik

Cirkeln, tillsammans med liknande begrepp om cirkel , ring och sfär , från antiken ansågs vara en gudomlig symbol för högsta perfektion, en symbol för skönhet och jämlikhet. Forntida astronomer var övertygade om att himlakropparna placerades på roterande sfärer och därmed rörde sig i cirklar. Kung Arthurs riddare satt vid ett runt bord, vilket betonade deras jämlikhet [7] .

I egyptisk mytologi skapade skaparguden Khnum människor på en krukmakares hjul . Salomos Ordspråksbok säger att Gud vid världens skapelse "ritar en cirkel på djupet" ( Ordspråksboken 8:27 ). För att skydda mot " onda andar " var det meningen att den skulle rita en cirkel runt sig själv ( magisk cirkel ). På bilderna av kristna helgon är deras ansikten omgivna av en rund gloria . Underjorden i många religioner består av koncentriska cirklar, vilket symboliserar hopplöshet. I Stonehenge och andra cromlechs är stenarna ordnade i en cirkel [7] [8] .

I olika mystiska doktriner symboliserar cirkeln ofta tillvarons oändlighet och cyklicitet ( ouroboros , Samsara ), balans ( yin/yang ), stabilitet etc. [9] . En liknande betydelse ses i många folks idiom och talesätt, till exempel: "året om", "social cirkel", "ond cirkel", "ömsesidigt ansvar" etc. Förmodligen är den utbredda seden att byta ringar mellan bruden och brudgummen symboliserar känslornas evighet, familjens stabilitet [8] [10] .

Se även

Ordlista för planimetri för ordet "Omkrets"
Excircle
Inskriven och omcirklar av en triangel
Inskrivna och omskrivna figurer för en triangel
Inskriven cirkel
Kategori:Cirklar - grundläggande begrepp och satser för cirklar
Omskriven cirkel
Cykloid

Anteckningar

↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , sid. 15-16.
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 408-409.
↑ 1 2 3 Elementär matematik, 1976 , sid. 410-411.
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 409-410.
↑ L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak , I. I. Yudina. Geometri. Årskurs 7-9: lärobok för läroanstalter. - 19:e upplagan. - M . : Education , 2009. - S. 167. - 384 sid. - ISBN 978-5-09-021136-9 .
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 510.
↑ 1 2 Yakovleva T. S., Demenok S. L. Strukturer och symboler (Abstraktion är ett empiriskt faktum). - St Petersburg. : Strata, 2020. - S. 65-69. — 232 sid. - (Bara). - ISBN 978-5-907314-11-5 .
↑ 1 2 Krug Arkiverad 5 augusti 2021 på Wayback Machine .
↑ Abdullahi, Yahya (29 oktober 2019), Cirkeln från öst till väst, i Charnier, Jean-François, Louvren Abu Dhabi: A World Vision of Art , Rizzoli International Publications, Incorporated, ISBN 9782370741004 .
↑ Cirkel . Hämtad 17 mars 2022. Arkiverad från originalet 24 januari 2022. (obestämd)

Litteratur

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. et al. Ytterligare kapitel för läroboken i 8:e klass // Geometry. — 3:e upplagan. — M. : Vita-Press, 2003.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Korn G., Korn T. Egenskaper för cirklar, ellipser, hyperbler och paraboler // Handbok i matematik. - 4:e upplagan. - M . : Nauka, 1978. - S. 70.
Markushevich A. I. Anmärkningsvärda kurvor, nummer 4 . - M . : Gostekhizdat, 1952. - 32 sid. Arkiverad14 september 2008 påWayback Machine
Cirkel // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4.

Länkar

Circle Arkiverad 8 maj 2017 på Wayback Machine på www.univer.omsk.su.
Cirkel och omkrets Arkiverad 17 mars 2017 på Wayback Machine på MetMaths webbplats.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Ny Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	GND : 4032962-8 J9U : 987007286430105171 LCCN : sh85026057 LNB : 000321923 NKC : ph121971

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta

Koniska sektioner
Huvudsorter	Ellips Hyperbel Parabel
Degenererad	Punkt Hetero Ett par raka linjer
Ett specialfall av en ellips	Cirkel
Geometrisk konstruktion	konisk sektion Dandelin bollar Steiners design
se även	Konisk konstant
Matematik • Geometri