Hypersfär

Hypersphere (från annan grekisk ὑπερ- " super- " + σφαῖρα "boll") är en hypersfär i dimensionell euklidisk rymd , bildad av punkter på samma avstånd från en given punkt, kallad sfärens mittpunkt . $n$

at , hypersfären degenererar till två punkter på samma avstånd från mitten ; $n=1$
när det är en cirkel ; $n=2$
när en hypersfär är en sfär . $n=3$
när hypersfären är en 3-sfär . $n=4$
när hypersfären är en 4-sfär . $n=5$

…

när hypersfären är en 7-sfär . 7-sfären är anmärkningsvärd genom att denna dimension är den första där det finns exotiska sfärer , det vill säga mångfalder som är homeomorfa till standard 7-sfären men inte diffeomorfa. $n=8$

Avståndet från hypersfärens centrum till dess yta kallas hypersfärens radie . En hypersfär är en -dimensionell delmanifold i -dimensionellt utrymme , alla normaler som skär varandra i dess centrum. $(n-1)$ $n$

Ekvationer

En hypersfär med radie centrerad vid en punkt definieras som platsen för punkter som uppfyller villkoret: $R$ $a=\left\{a_{1},a_{2},\dots a_{n}\right\}$

(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2} =R^{2}

Hypersfäriska koordinater

Som ni vet beskrivs polära koordinater enligt följande:

x=\rho \cdot \cos \alpha

y=\rho \cdot \sin \alpha

och sfäriska koordinater så här:

x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta

y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta

z=\rho \cdot \sin \beta

En n-dimensionell boll kan parametriseras av följande uppsättning hypersfäriska koordinater :

{\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \sin \alpha _{2}\cdot \cos \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

\ldots

{\displaystyle x_{n}=\rho \cdot \sin \alpha _{n-1))

var och . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in \left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac { \pi }{2}}\right]$ $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$

Jacobianen av denna förvandling är

J=\rho ^{n-1}\cos \,\alpha _{2}\cdot \cos ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos ^{n -2}\,\alpha _{n-1}

I en annan variant,

{\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

\ldots

x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{{n-1}}

var och . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in [0,\pi ]$ $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$

Jacobianen i denna form är

J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin ^{n -2}\,\alpha _{n-1}

Area och volym

Indimensionellt euklidiskt utrymme för en hypersfär av dess dimension , ytarean och volymen som begränsas av den ( volymen av en n-dimensionell boll ) kan beräknas med formlerna [1] [2] : $n$ $n$ $S_{{n-1}}$ $V_{n}$

S_{n-1}=nC_{n}R^{n-1}

V_{n}=C_{n}R^{n}

var

C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)))

a är gammafunktionen . Detta uttryck kan ges en annan form: $\gamma (x)$

C_{{2k}}={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}

C_{{2k+1}}={\frac {2^{{k+1}}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}

Här är dubbelfaktorn . $n!!$

Därför att

V_{n}/S_{n-1}=R/n

S_{n+1}/V_{n}=2\pi R

då uppfyller bollarnas volymer det återkommande förhållandet

V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{{n-2}}

och deras ytareor är relaterade som

S_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n-1}}S_{n-2}

Följande tabell visar att enhetssfären och kulan får en extrem volym för respektive . $S_{{6}}$ $V_{{5}}$

Ytor och volymer av hypersfärer och hyperbollar med en enhetsradie

Dimensionera	1 (längd)	2 (område)	3 (volym)	fyra	5	6	7	åtta
enda sfär ( ) $S_{n}$	$2\pi$	$4\pi$	$2\pi ^{2}$	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$	$\pi ^{3}$	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$	${\frac {32}{105}}\pi ^{4}$
Decimal inträde	6,2832	12,5664	19,7392	26,3189	31,0063	33,0734	32,4697	29,6866
Enhet boll ( ) $V_{n}$	$2$	$\pi$	${\frac {4}{3}}\pi$	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$
Decimal inträde	2 0000	3,1416	4,1888	4,9348	5,2638	5,1677	4,7248	4,0587

Radens "dimension" i tabellen innehåller dimensionen på ytan på den geometriska figuren, och inte dimensionen på det utrymme där den är belägen. För en dimensionell boll är dimensionen på dess "volym" också , och dimensionen på dess "area" är . $n$ $n$ $n-1$

Det bör noteras att förhållandet mellan volymen av den dimensionella sfären och volymen av kuben omgiven runt den snabbt minskar med ökande , snabbare än . $n$ $V_{n}=C_{n}R^{n}$ $n$ $2^{n}R^{n}$ $n$ ${\displaystyle 2^{-n))$

Hypersfärens topologi

I det här avsnittet menar vi med en sfär en n-dimensionell hypersfär, med en boll menar vi en n-dimensionell hypersfär, det vill säga , , . $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{{n+1}}$ $B_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{n}$

Sfären är homeomorf till faktoriseringen av bollen genom dess gräns . $S_{n}$ $B_{{n}}$
Bollen är homeomorf till faktoriseringen . $B_{n}$ $B_{n}\simeq (S_{{n-1}}\ gånger [0,1])/(S_{{n-1}}\ gånger \{1\})$
Sfären är ett cellulärt utrymme . Den enklaste cellnedbrytningen består av två celler, homeomorfa och . Det erhålls direkt från konstruktionen av en sfär som ett faktorutrymme för en sluten boll. En cellpartition kan också konstrueras genom induktion, uppdelning längs ekvatorn i två n-dimensionella celler, homeomorfa , och en sfär , som är deras gemensamma gräns. $B_{0}={\mathrm {pt}}$ $B_{n}$ $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{{n-1}}$

Anteckningar

↑ Vinogradov I. M. Mathematical Encyclopedia. — M .: Nauka, 1977, — v. 5, sid. 287, artikel "Sfär" - formeln för volymen av en n-dimensionell sfär
↑ L. A. Maksimov, A. V. Mikheenkov, I. Ya. Polishchuk. Föreläsningar om statistisk fysik. Dolgoprudny, 2011. - sid. 35, härledning av formeln för volymen av en n-dimensionell sfär genom Euler-Poisson-Gauss-integralen

Se även

Länkar

Hypersphere (project d'Amateur). 4D Hypersphere och Meridian Approximation Modeling Program Arkiverade 19 januari 2008 på Wayback Machine
Hypersphere Imagination Trainer: Rubik's Cube in 4 or More Dimensions Arkiverad 25 januari 2018 på Wayback Machine

Dimension av utrymme
Utrymmen efter dimension	Nolldimensionell en-dimensionell 2D 3D fyrdimensionell femdimensionell Sexdimensionell Sjudimensionell oktal Niodimensionell n-dimensionell Negativ dimension
Polytoper och figurer	Simplex hyperkub tesserakt Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkub Cross-polytope hypersfär
Typer av utrymmen	ändligt dimensionellt utrymme Euklidiskt utrymme affint utrymme projektivt utrymme Gratis modul Grenrör Dimension av en algebraisk variabel rum-tid
Andra dimensionella koncept	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Bråkdimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader av frihet
Matte