Vanligt

En normal i geometri är en generalisering av begreppet en vinkelrät mot en linje eller ett plan till godtyckliga jämna kurvor och ytor .

Normalen till kurvan vid en given punkt är en rät linje vinkelrät mot tangentlinjen vid den angivna punkten på kurvan. En plan jämn kurva har vid varje punkt en enda normal placerad i samma plan. Den rumsliga kurvan vid var och en av dess punkter har ett oändligt antal normaler, som bildar det så kallade normalplanet . Två av dessa normaler sticker ut särskilt: den normala som ligger i det oskulerande planet kallas för huvudnormalen , och den normala vinkelrät mot det oskulerande planet kallas för det binormala [1] .

Normalen till ytan vid en given punkt på den är en rät linje vinkelrät mot tangentplanet vid den angivna punkten på ytan. Normalen för en slät yta är unikt definierad [1] .

Begreppet normal kan lätt utvidgas till högre dimensionella grenrör . Förutom geometri används normaler i stor utsträckning inom geometrisk optik , mekanik , när man skapar tredimensionell datorgrafik , i potentiell teori och inom andra naturvetenskaper [2] .

Normal vektor

Normalvektorn (eller orten av normalen ) till ytan vid en given punkt är en enhetsvektor som appliceras på en given punkt och parallellt med normalens riktning. För varje punkt på en slät yta kan du ange två normalvektorer som skiljer sig åt i riktning. Normalvektorerna till den rumsliga kurvan vid en given punkt definieras på liknande sätt; bland dem, enligt ovan, väljs två, ortogonala mot varandra: huvudnormalvektorn och binormalvektorn.

En yta kallas dubbelsidig om den har ett kontinuerligt fält av normalvektorer över hela sin längd. Annars kallas ytan ensidig eller icke- orienterbar . En orienterad yta är en tvåsidig yta med en vald riktning på normalen.

Exempel på ensidiga och därför icke-orienterbara ytor är Klein-flaskan eller Möbius-remsan .

Normal till rymdkurva

Låt vara vektorekvationen för kurvan. Då kan huvudnormalens riktning erhållas som en dubbelvektorprodukt : Vid en naturlig parametrisering av kurvan (dess båglängd ) är enhetsvektorn för huvudnormalen [3] lika med . ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$ $[[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} '].$ ${\mathbf {r))''$

Vektorekvationen för det binormala i en punkt har formen: $t=t_{0}$

{\boldsymbol {r}}(\lambda )={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r }}''(t_{0})].

Normalplanekvation [3] vid punkten : ${\boldsymbol {r}}(t_{0})=\{x_{0},y_{0},z_{0}\}$

x'_{0}(x-x_{0})+y'_{0}(y-y_{0})+z'_{0}(z-z_{0})=0

Normal till en plan kurva

För en plan kurva sammanfaller planet som innehåller den med tangentplanet. Normalen, upp till tecknet, är bara en - den huvudsakliga, och dess ekvation vid en punkt har följande form. $(x_{0},\ y_{0})$

Metod för definition av plan kurva	Kurva ekvation	Normal ekvation
Parametrisk uppgift	${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$	$y=y_{0}-{\frac {x_{0}'}{y_{0}'}}(x-x_{0})$
Explicit uppdrag	$y=f(x)$	$y=y_{0}-{\frac {x-x_{0}}{y_{0}'}}$
implicit uppdrag	$F(x,y)=0$	$y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(x-x_{0})$

Yta normal

Inom differentialgeometri är de ytor som studeras vanligtvis föremål för villkor relaterade till möjligheten att tillämpa differentialkalkylmetoderna . I regel är dessa villkoren för ytans jämnhet , det vill säga existensen i varje punkt på ytan av ett visst tangentplan , krökning etc. Dessa krav kokar ner till det faktum att de funktioner som definierar ytan antas en, två gånger, tre gånger och i vissa frågor - ett obegränsat antal gånger differentierbara eller till och med analytiska funktioner . I det här fallet ställs dessutom regelbundenhetsvillkoret (se artikeln Yta ). Ett exempel på en ytpunkt där normalen inte är definierad är spetsen på en kon - det finns inget tangentplan vid den.

Koordinaterna för normalvektorn för olika sätt att specificera ytan anges i tabellen:

	Normala koordinater vid en ytpunkt
parametrisk uppgift: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$	$\frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac {D(x,y)}{D(u,v)}\höger)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\höger)^2 +\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\höger)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\ höger)^2}}$
implicit uppgift: $F(x,y,z)=0$	$\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right )}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left ( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}$
explicit uppdrag: $z=f(x,y)$	$\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1))$

Här . Alla derivat tas vid punkten . Det kan ses från formlerna att i fallet med en implicit tilldelning sammanfaller riktningen för normalen till funktionen med riktningen för dess gradient . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $F(x,y,z)$

Sektionen av en yta av ett plan som innehåller ytans normal vid en given punkt bildar en viss kurva, som kallas ytans normala sektion . Huvudnormalen för en normal sektion sammanfaller med normalen till ytan (upp till ett tecken).

Om kurvan på ytan inte är en normal sektion, bildar dess huvudnormal en vinkel med ytnormalen . Då är kurvans krökning relaterad till krökningen för normalsektionen (med samma tangent) med Meuniers formel [4] : $\theta$ $k$ $k_n$

k_n = \pm k\,\cos\,\theta

Krökningen av en normal sektion vid en given punkt beror på riktningen för denna sektion; om krökningen inte är konstant, då maximal och minimum nås i två ömsesidigt vinkelräta riktningar, kallade huvudriktningar . På sfären, på ändarna av ellipsoiden , etc., är krökningen konstant, och alla riktningar är huvudsakliga [5] . $k_n$

Anteckningar

↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1982 , sid. 1049-1050.
↑ Normal // Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 416 . — 847 sid.
↑ 1 2 Rashevsky, 1956 , sid. 146.
↑ Pogorelov, 1974 , sid. 125-126.
↑ Pogorelov, 1974 , sid. 132-133.

Litteratur

Normal // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
Pogorelov AI Differentialgeometri. - 6:e uppl. - M . : Nauka, 1974. - 176 sid.
Rashevsky P. K. Kurs för differentialgeometri. - 4:e uppl. — M. : GITTL, 1956.

Länkar

Normal // Great Russian Encyclopedia : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor ryss Brockhaus och Efron Litet Brockhaus och Efron Ny
I bibliografiska kataloger	GND : 4699684-9

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig