Kvadratisk form

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 september 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

En kvadratisk form är en funktion på ett vektorrum som definieras av ett homogent polynom av andra graden i vektorns koordinater.

Definition

Låta vara ett vektorrum över ett fält och vara en bas i . $L$ $K$ $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $L$

En funktion kallas en kvadratisk form om den kan representeras som $Q:L till K$

Q(x)=\summa _{{i,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j},

var , och är några delar av fältet . $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}$ $a_{{ij}}$ $K$

Relaterade definitioner och egenskaper

Matrisen kallas matrisen av kvadratisk form i den givna basen. Om fältkarakteristiken inte är lika med 2 kan vi anta att matrisen för den kvadratiska formen är symmetrisk, det vill säga . Så till exempel brukar den kvadratiska formen i två variabler skrivas som $A=(a_{{ij}})$ $Q(x)$ $K$ ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji))$

Q(x_{1},x_{2})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2} ^{2}

När du ändrar basen (d.v.s. en icke-degenererad linjär förändring av variabler ) med en ersättningsmatris , ändras matrisen för den kvadratiska formen med formeln $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $C$

A'=C^{T}A\,C,

var är matrisen för den kvadratiska formen i den nya basen.

A'

Det följer av formeln att determinanten för en matris av en kvadratisk form inte är dess invariant (dvs. den bevaras inte när grunden ändras, till skillnad från till exempel matrisen för en linjär avbildning ), utan dess rangordning är det. Således definieras begreppet rang av en kvadratisk form . $A'=C^{T}A\,C$
Om matrisen för en kvadratisk form har full rang , kallas den kvadratiska formen icke- degenererad , annars degenererad . $n$
För varje kvadratisk form finns det en unik symmetrisk bilinjär form så att . En bilinjär form sägs vara polär mot om den kan beräknas från formeln $F$ $B$ $Q(x)=B(x,x)$ $B$ $F$

B(x,y)={\frac {1}{2}}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).

Matrisen för en kvadratisk form på godtycklig basis sammanfaller med matrisen för dess polära bilinjära form på samma bas.

Bestämda och alternerande former

I fallet när (fältet med reella tal), spelas en viktig roll, inklusive för olika tillämpningar, av begreppen positiva och negativa bestämda kvadratiska former. $K=\mathbb {R}$

En kvadratisk form sägs vara positivt ( negativt ) bestämd om ojämlikheten gäller för någon . Positiv-definita och negativ-definita former kallas teckendefinita . $F$ $x\neq 0$ $Q(x)>0$ $(Q(x)<0)$
En kvadratisk form kallas teckenalternerande ( obestämd ) om den har både positiva och negativa värden. $Q(x)$
En kvadratisk form sägs vara positivt ( negativt ) halvdefinitiv om det finns någon och det finns sådan att . $Q(x)$ $Q(x)\geq 0$ $(Q(x)\leq 0)$ $x\i L$ $x\neq 0$ $Q(x)=\ 0$

För att avgöra om en given kvadratisk form är positivt (negativt) bestämd, används Sylvester-kriteriet :

En kvadratisk form är positiv definitivt om och endast om alla de vinkelformiga bitalen i dess matris är strikt positiva.
En kvadratisk form är negativ definitivt om och endast om tecknen för alla vinkelformiga moll i dess matris alternerar, med ordningen 1 moll som negativ.

En bilinjär form som är polär till en positiv bestämd kvadratisk form uppfyller alla axiom för prickprodukten .

Kanonisk form

Verkligt fall

I fallet när (fältet med reella tal), för varje kvadratisk form finns det en grund där dess matris är diagonal, och själva formen har en kanonisk form , det vill säga den innehåller endast kvadrater av variabler: $K=\mathbb {R}$

Q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{p}x_{p}^{2}-a_{p+1}x_{p+1}^ {2}-\cdots -a_{p+q}x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)

var är den andragradsformens rangordning. . I det här fallet kallas koefficienterna för kanoniska koefficienter . I fallet med en icke-degenererad kvadratisk form , och i fallet med en degenererad, . $r$ $a_{{i}}$ $p+q=n$ $p+q<n$

Det finns också en normal form av en kvadratisk form: . $Q_{n}(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+ q }^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)$

För att reducera en kvadratisk form till en kanonisk form används vanligtvis Lagrangemetoden eller ortogonala transformationer av basen, och en given kvadratisk form kan reduceras till en kanonisk form inte på ett, utan på många sätt.

Antalet (negativa termer) kallas tröghetsindexet för den givna kvadratiska formen, och antalet (skillnaden mellan antalet positiva och negativa termer) kallas signaturen för den kvadratiska formen. Observera att ibland kallas signaturen för en kvadratisk form för ett par . Siffrorna är invarianter av den kvadratiska formen, det vill säga de beror inte på hur den reduceras till den kanoniska formen ( Sylvesters tröghetslag ). $q$ $pq$ $(p,q)$ $p,q,pq$

Komplext fall

I fallet när (fältet med komplexa tal), för varje kvadratisk form finns det en grund där formen har den kanoniska formen $K=\mathbb {C}$

Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)

var är den andragradsformens rangordning. Sålunda, i det komplexa fallet (till skillnad från det verkliga fallet), har den kvadratiska formen en enda invariant, rangen, och alla icke-degenererade former har samma kanoniska form (summan av kvadrater). $r$

Exempel

Den skalära produkten av vektorer är en symmetrisk bilinjär funktion. Den motsvarande kvadratiska formen är positiv bestämd, den tilldelar en vektor kvadraten på dess längd. $(x,y)$ $Q(x)=(x,x)$ $x$
Den kvadratiska formen på planet (vektorn har två koordinater: och ) är teckenalternerande, den reduceras till den kanoniska formen med hjälp av en linjär förändring . ${\displaystyle Q(x)=x_{1}x_{2))$ $x$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}'^{2}-x_{2}'^{2}$ $x_{1}=x_{1}'+x_{2}',\ x_{2}=x_{1}'-x_{2}'$

Se även

Anteckningar

Litteratur

Beklemishev DV Analytisk geometri och linjär algebra.-M.: Vyssh. skola 1998, 320-tal.
Gel'fand I. M. , linjär algebra . Föreläsningskurs.
Gelfand I. M. föreläsningar om linjär algebra, Moskva: Nauka, 1971.
Conway, J. Quadratic Forms Given to Us in Sensations . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 sid. - 1000 exemplar. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
Maltsev AI Grunderna i linjär algebra. Moskva: Nauka, 1975.
Faddeev D. K. Föreläsningar om algebra. Moskva: Nauka, 1984.
Kostrikin A. I. Introduktion till algebra, Moskva: Nauka, 1977.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig