Noll matris

En nollmatris är en matris vars storlek alla element är lika med noll . Det betecknas som eller eller [1]

Tecken

Nollmatrisen, och bara den, har rang 0.

Detta betyder att endast en nollmatris har egenskapen att producera en nollkolumn när den multipliceras från höger med vilken kolumnvektor som helst, och på samma sätt när den multipliceras med en radvektor från vänster.

En annan konsekvens av detta faktum är nollheten för alla m × 0 och 0 × n matriser , på grund av det faktum att rangordningen för en m × n matris inte överstiger min( m ,  n ).

Egenskaper

• Produkten av en nollmatris med valfritt tal är lika med sig själv:

• Summan av en matris och en nollmatris av samma storlek är lika med den ursprungliga matrisen :

• Skillnaden mellan en matris och en nollmatris av samma storlek är lika med den ursprungliga matrisen :

• Produkten av storleksmatrisen med nollstorleksmatrisen är lika med nollstorleksmatrisen

• Den kvadratiska nollmatrisen n × n at är degenererad , och som en konsekvens är dess determinant lika med noll: Således har en sådan matris ingen invers .

• Den kvadratiska nollmatrisen är symmetrisk , och som en konsekvens är dess transponerade matris lika med sig själv:

• Den kvadratiska nollmatrisen är också skevsymmetrisk :

• De två sista punkterna är sanna ordagrant också med avseende på att vara hermitisk och skev-hermitisk över fältet av komplexa tal.

• Den kvadratiska nollmatrisen är en övre triangulär , nedre triangulär och diagonal matris.

• En kvadratisk nollmatris är en skalär matris och permuterar därför med vilken kvadratisk matris som helst av samma storlek:

Alla ovanstående egenskaper hos nollmatrisen är, på ett eller annat sätt, en konsekvens av det faktum att nollmatrisen är ett additivt neutralt element (i vardagligt talat: noll) i det linjära rummet av matriser av dess storlek, vilket betyder att den (och bara den) tillhör vilket linjärt delrum som helst . Tja, samtidigt nollpunkten i algebra av matriser, om matrisen är kvadratisk.

Trots detta har nollmatrisen också en icke-trivial egenskap vad gäller icke- nolldelare . Faktum är att det finns hur många som helst, åtminstone till höger, till och med till vänster, men den exakta definitionen av "så många du vill" beror på utrymmet för matriser i vilken storlek vi kommer att leta efter dem. Par av icke-noll matriser M av storleken m × l och N av storleken l × n så att de existerar om och endast om . För existensen av l \u003d 0 räcker det inte redan av den anledningen att det bland matriser med storlek både m × 0 och 0 × n inte finns några icke-noll alls (se ovan ). Och för en förklaring av att det inte finns divisorer med l = 1, se artikeln tensorprodukt . Således, i algebra av n × n matriser över vilket fält som helst finns det nolldelare om och endast om . Vilket dock inte är förvånande om vi tittar på hur sådana algebror är ordnade för n = 1 och n = 0.

Anteckningar

1. ↑ Fundamentals of linear algebra, 1975 , sid. elva.

Litteratur

• Maltsev AI Grunderna i linjär algebra. — M .: Nauka, 1975. — 400 sid.