Vektor utrymme

Vektorrymd ( linjärt utrymme ) är en matematisk struktur , som är en uppsättning element, kallade vektorer , för vilka operationerna för addition med varandra och multiplikation med ett tal - en skalär [1] definieras . Dessa operationer är föremål för åtta axiom . Skalärer kan vara element i ett reellt , komplext eller vilket annat talfält som helst . Ett specialfall av ett sådant utrymme är det vanliga tredimensionella euklidiska utrymmet , vars vektorer används, till exempel, för att representera fysiska krafter . I det här fallet behöver vektorn som ett element i vektorrummet inte specificeras som ett riktat segment. Generaliseringen av begreppet "vektor" till ett element av ett vektorrum av vilken karaktär som helst orsakar inte bara förvirring av termer, utan tillåter oss också att förstå eller till och med förutse ett antal resultat som är giltiga för rum av godtycklig natur [ 2] .

Vektorrum är föremål för studier i linjär algebra . En av de viktigaste egenskaperna hos ett vektorrum är dess dimension. Dimension är det maximala antalet linjärt oberoende element i rymden, det vill säga med en grov geometrisk tolkning, antalet riktningar som inte kan uttryckas genom varandra med hjälp av endast addition och multiplikation med en skalär. Vektorutrymmet kan förses med ytterligare strukturer, såsom normen eller punktprodukten . Sådana utrymmen förekommer naturligt i kalkyl , främst i form av oändligt dimensionella funktionsrum där vektorerna funktioner Många problem vid analys kräver att man tar reda på om en sekvens av vektorer konvergerar till en given vektor. Övervägande av sådana frågor är möjligt i vektorrum med en extra struktur, i de flesta fall - en lämplig topologi , som tillåter oss att definiera begreppen närhet och kontinuitet . Sådana topologiska vektorrum , i synnerhet Banach- och Hilbert-utrymmen , möjliggör djupare studier.

De första verken som förutsåg introduktionen av konceptet med ett vektorrum går tillbaka till 1600-talet . Det var då som analytisk geometri , läran om matriser , linjära ekvationssystem och euklidiska vektorer fick sin utveckling .

Definition

Linjär , eller vektor , utrymme över ett fält är en ordnad fyrdubbling , där $V(F)$ $F$ $(V,F,+,\cdot )$

$V$ är en icke- tom uppsättning element av godtycklig natur, som kallas vektorer .
$F$ är ett fält vars element kallas skalärer .
Operationen av vektoraddition är definierad , vilket associerar varje par av element i mängden med ett enda element i mängden , kallat deras summa och betecknat med . $V\times V\to V$ $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ $V$ $V$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$
Funktionen för multiplikation av vektorer med skalärer definieras , vilket associerar varje element i fältet och varje element i mängden med ett enda element i mängden , betecknat med eller . $F\ gånger V\ till V$ $\lambda$ $F$ $\mathbf {x}$ $V$ $V$ $\lambda \cdot \mathbf {x}$ $\lambda \mathbf {x}$

De givna operationerna måste uppfylla följande axiom - axiomen för ett linjärt (vektor)utrymme:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ för varje ( kommutativitet av addition ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ för alla ( associativitet av tillägg ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
det finns ett sådant element som för alla ( förekomsten av ett neutralt element med avseende på addition ), kallas nollvektorn , eller helt enkelt noll , rymden ; $\mathbf {0} \i V$ $\mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \i V$ $V$
för alla finns det ett sådant element som kallas vektorn motsatt vektorn ; $\mathbf {x} \i V$ $-\mathbf {x} \i V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {x}$
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ ( associativitet av multiplikation med en skalär );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitarity: multiplikation med ett neutralt (genom multiplikation) element i ett fält bevarar en vektor $F$ ).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ ( distributivitet av multiplikation av en vektor med en skalär med avseende på addition av skalärer );
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ ( distributivitet av multiplikation av en vektor med en skalär med avseende på addition av vektorer ).

Således definierar additionsoperationen strukturen för en (additiv) Abelian-grupp på setet . $V$

Vektorutrymmen definierade på samma uppsättning element, men över olika fält, kommer att vara olika vektorrum (till exempel kan uppsättningen av par av reella tal vara ett tvådimensionellt vektorrum över fältet med reella tal eller endimensionellt över fältet för komplexa tal ). $\mathbb {R} ^{2}$

De enklaste egenskaperna

Vektorrummet är en abelsk grupp genom addition.
Det neutrala elementet är det enda som är resultatet av gruppegenskaper. $\mathbf {0} \i V$
$0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0}$ för någon . $\mathbf {x} \i V$
För varje motsatt element är det enda som följer av gruppegenskaperna. $\mathbf {x} \i V$ $-\mathbf {x} \i V$
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ för någon . $\mathbf {x} \i V$
$(-\alpha )\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x} )=-(\alpha \mathbf {x} )$ för alla och . $\alfa \i F$ $\mathbf {x} \i V$
$\alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ för någon . $\alfa \i F$

Relaterade definitioner och egenskaper

Subspace

Algebraisk definition: Ett linjärt delrum , eller ett vektorunderrum , är en icke-tom delmängd av ett linjärt utrymme så att det i sig är ett linjärt utrymme med avseende på de som definieras i operationerna addition och multiplikation med en skalär. Uppsättningen av alla delutrymmen betecknas vanligtvis som . För att en delmängd ska vara ett delrum är det nödvändigt och tillräckligt att $K$ $V$ $K$ $V$ $\mathrm {Lat} (V)$

för vilken vektor som helst tillhörde vektorn också för någon ; $\mathbf {x} \i K$ $\alpha \mathbf {x}$ $K$ $\alfa \i F$
för alla vektorer tillhörde vektorn också . $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \i K$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ $K$

De två sista påståendena motsvarar följande:

för alla vektorer tillhörde vektorn också någon .

\mathbf {x} ,\mathbf {y} \i K

\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y}

K

\alfa ,\beta \i F

Speciellt är ett vektorrum som består av endast en nollvektor ett delrum till vilket rymd som helst; vilket utrymme som helst är ett delrum av sig självt. Delrum som inte sammanfaller med dessa två kallas korrekta eller icke-triviala .

Subspace Properties

Skärningspunkten för vilken familj av delrum som helst är återigen ett delrum;
Summan av delutrymmen definieras som en uppsättning som innehåller alla möjliga summor av element : $\{K_{i}\mid i\in 1\ldots N\}$ $K_{i}$ $\sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:=\{\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\ldots +\mathbf {x} _{N}\mid \mathbf {x} _{i}\in K_{i}\quad (i\i 1\ldots N)\}$ .
- Summan av en finit familj av delrum är återigen ett delrum.

Linjära kombinationer

Formens formella uttryck

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}

kallas [3] en linjär kombination av element med koefficienter . $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\in V$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\i F$

Faktum är att denna definition (och de som ges nedan) inte bara gäller kombinationer av vektorer, utan också kombinationer av andra objekt för vilka sådana summor överhuvudtaget är meningsfulla (till exempel för kombinationer av punkter i ett affint utrymme ).

Den linjära kombinationen kallas:

icke-trivial om åtminstone en av dess koefficienter är icke-noll.
barycentrisk om summan av dess koefficienter är lika med 1 [4] ,
konvex om summan av dess koefficienter är lika med 1 och alla koefficienter är icke-negativa,
balanserad om summan av dess koefficienter är 0.

Grund. Dimension

Vektorer kallas [5] linjärt beroende om det finns en icke-trivial linjär kombination av dem, vars värde är lika med noll; det är $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _ {n}=\mathbf {0}

för vissa koefficienter som inte är noll $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\i F.$

Annars kallas dessa vektorer linjärt oberoende .

Denna definition tillåter följande generalisering: en oändlig uppsättning vektorer från kallas linjärt beroende , om någon ändlig delmängd av den är linjärt beroende, och linjärt oberoende , om någon av dess ändliga delmängder är linjärt oberoende. $V$

Det kan visas [6] att antalet element ( potens ) för den maximala linjärt oberoende uppsättningen av element i ett vektorrum inte beror på valet av denna uppsättning. Detta nummer kallas rangen eller dimensionen av rymden, och denna mängd i sig kallas basen ( Hamel-basen eller den linjära basen ). Elementen i basen kallas basvektorer . Dimensionen av rymden betecknas oftast med symbolen . ${\rm {dim}}$

Dimensionen av ett vektorrum är alltså antingen ett icke-negativt heltal (särskilt lika med noll om utrymmet består av endast en nollvektor) eller oändlighet (mer exakt, kraften hos en oändlig mängd). I det första fallet kallas vektorrummet ändligt dimensionellt och i det andra - oändligt -dimensionellt (till exempel är utrymmet för kontinuerliga funktioner oändligt dimensionellt ). Traditionellt hör studiet av ändligt dimensionella vektorrum och deras avbildningar till linjär algebra , och studiet av oändligt dimensionella vektorrum till funktionell analys . I det andra fallet spelas en väsentlig roll av frågan om nedbrytbarheten av ett givet element i ett givet oändligt system av funktioner, det vill säga konvergensen av motsvarande oändliga summor, för vilka ett oändligt dimensionellt vektorrum betraktas tillsammans med en extra struktur som gör att man kan bestämma konvergens, till exempel med ett mått eller topologi .

Basegenskaper:

Alla linjärt oberoende element i -dimensionellt rymd utgör grunden för detta utrymme. $n$ $n$
Vilken vektor som helst kan representeras (unikt) som en finit linjär kombination av grundläggande element: $\mathbf {x} \i V$

\mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf { x} _{n}

Linjärt skal

Det linjära omfånget för en delmängd av ett linjärt utrymme är skärningspunkten mellan alla underutrymmen som innehåller . ${\mathcal {V}}(X)$ $X$ $V$ $V$ $X$

Det linjära spannet är ett delrum av . $V$

Det linjära spannet kallas också det delutrymme som genereras av . Det sägs också att det linjära spannet är det utrymme som spänner över av mängden . $X$ ${\mathcal {V}}(X)$ $X$

Det linjära spannet består av alla möjliga linjära kombinationer av olika finita delsystem av element från . I synnerhet, om är en finit mängd, så består den av alla linjära kombinationer av element . Således tillhör nollvektorn alltid det linjära spannet. ${\mathcal {V}}(X)$ $X$ $X$ ${\mathcal {V}}(X)$ $X$

Om är en linjärt oberoende mängd, då är den en bas och bestämmer därmed dess dimension. $X$ ${\mathcal {V}}(X)$

Isomorfism

Två linjära rum och kallas isomorfa om en en-till-en överensstämmelse kan etableras mellan vektorerna och på ett sådant sätt att följande villkor är uppfyllda: $V'(F)$ $V''(F)$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

om vektor motsvarar vektor , och vektor motsvarar vektor , så motsvarar vektor vektor $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {y} ''\in V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
om vektorn motsvarar vektorn , och är ett element i fältet , så motsvarar vektorn vektorn [7] $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Exempel

Ett nollutrymme vars enda element är noll.
Utrymmet för alla funktioner med ändligt stöd bildar ett vektorrum med dimension lika med makt . $X\ till F$ $X$
Fältet för reella tal kan ses som ett kontinuumdimensionellt vektorutrymme över fältet för rationella tal .
Varje fält är ett endimensionellt utrymme ovanför sig själv.
Mellanrummen för matriser och tensorer bildar ett linjärt rum.

Ytterligare strukturer

Se även

Anteckningar

↑ Blanda inte ihop begreppen "multiplikation med en skalär" och " skalär produkt ".
↑ Ilyin, Poznyak, 2010 , sid. 45.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , sid. åtta.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , sid. 198.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , sid. 16.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , sid. fjorton.
↑ Shilov G. E. Introduktion till teorin om linjära rum. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - sid. 70

Litteratur

Gelfand I. M. Föreläsningar om linjär algebra. - 5:a. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 sid. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Gelfand I. M. Föreläsningar om linjär algebra. 5:e uppl. - M . : Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 sid. - ISBN 5-7913-0016-6 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Linjär algebra och geometri. 2:a uppl. — M .: Nauka , 1986. — 304 sid.
Kostrikin A.I. Introduktion till algebra. Del 2: Linjär algebra. - 3:a. - M . : Nauka ., 2004. - 368 sid. — (Högskolans lärobok).
Maltsev AI Grunderna i linjär algebra. - 3:a. — M .: Nauka , 1970. — 400 sid.

Postnikov M. M. Linjär algebra (Föreläsningar om geometri. Termin II). - 2:a. — M .: Nauka , 1986. — 400 sid.
Streng G. Linjär algebra och dess tillämpningar. — M .: Mir , 1980. — 454 sid.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linjär algebra. 6:e uppl. - M. : Fizmatlit, 2010. - 280 sid. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
Halmos P. Finita-Dimensional Vector Spaces. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 sid.
Faddeev D. K. Föreläsningar om algebra. - 5:a. - St Petersburg. : Lan , 2007. - 416 sid.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - 1:a. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 sid.
Schreier O., Shperner G. Introduktion till linjär algebra i en geometrisk presentation = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (översatt från tyska). - M. - L .: ONTI , 1934. - 210 sid.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig