Utrymme av kontinuerliga funktioner

Utrymmet av kontinuerliga funktioner är ett linjärt normerat utrymme , vars element är kontinuerliga funktioner på segmentet (vanligtvis betecknat , ibland eller eller ). Normen i detta utrymme definieras enligt följande: $[a,b]$ ${\mathrm {C} [a,b]$ $C^{0}[a,b]$ $C^{(0)}[a,b]$ $C(a,b)$

||x||_{{\mathbf {C} [a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|

Denna norm kallas också Chebyshev-normen eller enhetlig norm , eftersom konvergens i denna norm är likvärdig med enhetlig konvergens .

Egenskaper

Om en sekvens av element från konvergerar i detta utrymme till någon gränsfunktion , då för . $x_{n}$ ${\mathrm {C} [a,b]$ $x(t)$ $x_{n}\rightrightarrows x$ $n\till\infty$
- Därav: — Banach space . ${\mathrm {C} [a,b]$
Utrymmet av kontinuerliga funktioner är separerbart : en överallt tät mängd i den bildar mängden av alla polynom med rationella koefficienter. Detta uttalande erhålls som en konsekvens av Weierstrass approximationssats .
Parallelogramidentiteten finns inte i den, så normen i den genererar inte någon skalär produkt . ${\mathrm {C} [a,b]$

Variationer och generaliseringar

På samma sätt är detta utrymme också byggt över regioner och deras stängningar . I fallet med en icke-kompakt uppsättning måste den maximala ersättas med den minsta övre gränsen .

Så, utrymmet för kontinuerliga avgränsade funktioner ( vektorfunktioner ) är uppsättningen av alla kontinuerliga avgränsade funktioner med normen införd på den: $C(X,Y)$ $x:X\to Y$

\|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.

Tillsammans med Chebyshev-normen betraktas ofta utrymmet för kontinuerliga funktioner med en integrerad norm:

\|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt

I betydelsen av denna norm bildar det funktionsutrymme som är kontinuerligt på ett intervall inte längre ett fullständigt linjärt utrymme . Grundläggande, men inte konvergent i den, är till exempel sekvensen $x_{n}$

x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n))\\nt,\quad t\in (-{\frac {1 }{n)),{\frac {1}{n)))\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n))\end{cases))

Dess färdigställande är utrymmet för summerbara funktioner . $L_{1}[a,b]$

Litteratur

Kolmogorov A. N., Fomin S. I. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. — M .: Nauka , 2004 .
L. A. Lyusternik, V. I. Sobolev. Element i funktionsanalys. — M .: Nauka , 1965 .
M. Reed, B. Simon. Metoder för modern matematisk fysik. Vol. 1 Funktionsanalys. — New York London: Academic Press, 1973 .
Yosida K. Funktionsanalys. — M .: Mir, 1967 .