Parallellogram identitet

Parallelogramidentiteten är en av likheterna i vektoralgebra och vektoranalys .

I euklidisk geometri

Summan av kvadraterna av längderna på sidorna i ett parallellogram är lika med summan av kvadraterna av längderna på dess diagonaler .

\ (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2 }.

I utrymmen med inre produkt

I vektorrum med inre produkt ser denna identitet ut så här [1] :

2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2},

var

\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .

I normerade utrymmen (polarisationsidentitet)

I ett normerat utrymme ( V , ) för vilket parallellogramidentiteten gäller kan man introducera en inre produkt som genererar denna norm, det vill säga sådan att alla vektorer i rummet . Detta teorem tillskrivs Fréchet , von Neumann och Jordan [2] [3] . Detta kan göras på följande sätt: $\|\cdot \|$ $\langle x,\ y\rangle$ $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ $x$ $V$

för riktigt utrymme $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2} \över 4},$ eller eller ${\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \över 2},$ ${\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2} \över 2}.$
för komplexa utrymmen $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2} \över 4}+i{\|ix-y\|^{2 }-\|ix+y\|^{2} \över 4}.$

Ovanstående formler som uttrycker punktprodukten av två vektorer i termer av normen kallas polarisationsidentiteten .

Uppenbarligen kommer normen uttryckt i termer av en skalär produkt enligt följande att tillfredsställa denna identitet. $\ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle$

Polarisationsidentiteten används ofta för att förvandla Banach-rum till Hilbert-rum .

Generalisering

Om B är en symmetrisk bilinjär form i vektorrymden och den kvadratiska formen Q uttrycks som

\ Q(v)=B(v,v)

sedan

{\begin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(uv),\\2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u )-Q(v),\\2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(uv).\end{array}}

Se även

Eulers fyrsidiga teorem är en generalisering av identiteten till fallet med godtyckliga fyrhörningar.

Anteckningar

↑ Shilov, 1961 , sid. 185.
↑ Philippe Blanchard, Erwin Brüning. Proposition 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan) // Matematiska metoder i fysik: distributioner, Hilbert-rymdoperatorer och variationsmetoder (engelska) . — Birkhauser, 2003. - S. 192. - ISBN 0817642285 . Arkiverad 19 augusti 2017 på Wayback Machine
↑ Gerald Teschl. Sats 0.19 (Jordan–von Neumann) // Matematiska metoder i kvantmekanik: med tillämpningar till Schrödinger-operatorer (engelska) . - American Mathematical Society Bookstore, 2009. - P. 19. - ISBN 0-8218-4660-4 . Arkiverad 6 maj 2021 på Wayback Machine

Länkar

Analytisk geometri på planet och i rymden / Vektoralgebra (ryska)

Litteratur

Shilov G. E. Matematisk analys. Specialkurs. — M .: Nauka, 1961. — 436 sid.