Diagonal

Diagonal ( grekiska διαγώνιος ; från δια- "genom" + γώνια "vinkel") - i elementär geometri , ett segment som förbinder icke-angränsande hörn av en polygon eller polyeder [1] . I analogi används det också i den visuella beskrivningen av kvadratmatriser , i mängdlära och grafteori .

Polygoner och polyedrar

För polygoner är en diagonal  ett linjesegment som förbinder två icke-angränsande hörn. Således har en fyrhörning två diagonaler som förbinder motsatta hörn. En konvex polygon har diagonaler inuti. En polygon är konvex om och endast om dess diagonaler ligger inuti.

Låta vara  antalet hörn av polygonen, och beräkna  är antalet möjliga olika diagonaler. Varje hörn är ansluten med diagonaler till alla andra hörn, förutom två närliggande och, naturligtvis, sig själv. Således kan diagonaler ritas från en vertex; multiplicera detta med antalet hörn

,

men vi räknade varje diagonal två gånger (en gång för varje ände) - därför,

Diagonalen på en polyeder är ett segment som förbinder två av dess hörn som inte hör till samma yta. Så på bilden av kuben är diagonalen markerad . Segmentet är inte en diagonal av en kub (men är en diagonal av en av dess ytor).

På liknande sätt kan man definiera en diagonal för polyedrar i utrymmen med högre dimensioner.

Matriser

I fallet med kvadratiska matriser är huvuddiagonalen en diagonal linje av element som går från nordväst till sydost. Till exempel kan en identitetsmatris beskrivas som att den har ettor på huvuddiagonalen och nollor utanför den.

Supradiagonala element är de som ligger ovanför och till höger om huvuddiagonalen. Subdiagonal  - de nedanför och till vänster. En diagonal matris  är en matris där alla element utanför huvuddiagonalen (dvs överdiagonal och subdiagonal) är lika med noll.

Diagonalen från sydväst till nordost kallas ofta kollateraldiagonalen .

Mängdteori

I analogi kallas en delmängd av den kartesiska produkten X × X av en godtycklig mängd X och sig själv, bestående av par av element (x, x), för mängden diagonal . Detta är enhetsrelationen och spelar en viktig roll i geometrin: till exempel kan de konstanta elementen i en karta F från X till X erhållas genom en sektion av F med diagonalen X .

Anteckningar

  1. ↑ Diagonal  // Grigoriev - Dynamics. - M  .: Great Russian Encyclopedia, 2007. - S. 703. - ( Great Russian Encyclopedia  : [i 35 volymer]  / chefredaktör Yu. S. Osipov  ; 2004-2017, v. 8). - ISBN 978-5-85270-338-5 .

Länkar