Fyrsidig

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 juli 2022; kontroller kräver 74 redigeringar .

FYRANGLAR
┌─────────────┼──────────────┐
enkel icke-konvex	konvex	självkorsande

En fyrhörning är en geometrisk figur ( polygon ) som består av fyra punkter (hörn), varav inte tre ligger på samma räta linje, och fyra segment (sidor) som förbinder dessa punkter i serie. Det finns konvexa och icke-konvexa fyrhörningar, en icke-konvex fyrhörning kan vara självkorsande (se fig.). En fyrhörning utan självskärningar kallas enkel , ofta betyder termen "fyrhörning" endast enkla fyrhörningar [1] .

Typer av fyrhörningar

Fyrhörningar med parallella motsatta sidor

En deltoid är en fyrhörning vars fyra sidor kan grupperas i två par lika intilliggande sidor.
En kvadrat är en fyrhörning där alla vinklar är räta och alla sidor är lika;
Ett parallellogram är en fyrhörning vars motsatta sidor är lika och parallella i par ;
Rektangel - en fyrhörning där alla vinklar är räta;
En romb är en fyrhörning där alla sidor är lika;
En romboid är ett parallellogram där intilliggande sidor är av olika längd och vinklarna inte är räta.
En trapets är en fyrhörning med två motsatta sidor parallella;

Fyrhörningar med antiparallella motsatta sidor

Ett antiparallelogram eller motparallelogram är en platt icke-konvex (självskärande) fyrhörning där varannan motsatt sida är lika med varandra, men inte parallella, till skillnad från ett parallellogram .
Likbent trapets eller likbent trapets .
En inskriven fyrhörning eller inskriven fyrhörning är en fyrhörning vars hörn ligger på samma cirkel. Det är också en fyrhörning med antiparallella motsatta sidor.

Fyrhörningar med vinkelräta intilliggande sidor

Fyrhörningar med vinkelräta diagonaler

Deltoid
Fyrkant
En ortodiagonal eller ortodiagonal fyrhörning är en fyrhörning där diagonalerna skär varandra i räta vinklar .
Romb

Fyrhörningar med parallella diagonaler

Antiparallelogram

Fyrhörningar med lika motsatta sidor

Antiparallelogram
Fyrkant
Parallellogram
Rektangel
Romb
Romboid
* Likbent trapets eller likbent trapets .

du kommer inte behöva det i framtiden.

Fyrhörningar med lika diagonaler

Fyrkant
En likdiagonal eller likdiagonal fyrhörning är en konvex fyrhörning vars två diagonaler är lika långa.
Rektangel
Likbent trapets eller likbent trapets .

Fyrkanter inskrivna om en cirkel

En omskriven eller omskriven fyrhörning är en konvex fyrhörning vars sidor tangerar en enda cirkel inuti fyrhörningen.

Fullständig fyrdelad

Även om ett sådant namn kan vara likvärdigt med en fyrhörning, ges det ofta ytterligare betydelse. De fyra linjerna, varav inte två är parallella och inga tre går genom samma punkt, kallas en komplett fyrhörning . En sådan konfiguration finns i vissa uttalanden av euklidisk geometri (till exempel Menelaus-satsen , Newton-Gauss- linjen , Auber-linjen , Miquel-satsen , etc.), där alla linjer ofta är utbytbara.

Summan av vinklar

Summan av vinklarna för en fyrhörning utan självskärningar är 360°.

\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=(4-2)\cdot 180^{\circ }=2\cdot 180^{\circ }=360^{\ cirkla}

Metriska förhållanden

Den fyrsidiga ojämlikheten

Modulen för skillnaden mellan två sidor av en fyrhörning överstiger inte summan av de andra två sidorna.

\left|ab\right|\leq c+d

Motsvarande: i vilken fyrkant som helst (inklusive en degenererad) är summan av längderna av dess tre sidor inte mindre än längden på den fjärde sidan, det vill säga:

a\leq b+c+d

;

b\leq a+c+d

;

c\leq a+b+d

;

d\leq a+b+c

Jämlikhet i den fyrsidiga ojämlikheten uppnås endast om den är degenererad , det vill säga alla fyra hörnen ligger på samma linje.

Ptolemaios ojämlikhet

För sidorna och diagonalerna på en konvex fyrhörning gäller Ptolemaios ojämlikhet : $a,b,c,d$ $e,f$

|e|\cdot |f|\leq |a|\cdot |c|+|b|\cdot |d|,

dessutom uppnås jämlikhet om och endast om den konvexa fyrhörningen är inskriven i en cirkel eller dess hörn ligger på en rät linje.

Relationer mellan sidorna och diagonalerna på en fyrhörning

Sex avstånd mellan fyra godtyckliga punkter i planet, tagna i par, är relaterade av relationen:

a^{2}c^{2}\left(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}\right )+b^{2}d^{2}\left(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2} \right)+

+e^{2}f^{2}\left(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}\ höger)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}

Detta förhållande kan representeras som en determinant :

\left|{\begin{matrix}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\\e^{2} &b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{matrix}}\right|=0

Denna determinant, upp till en faktor 288, är ett uttryck för kvadraten på volymen av en tetraeder i termer av längden på dess kanter med hjälp av Cayley-Menger-determinanten . Om hörn av en tetraeder ligger i samma plan, har den noll volym och förvandlas till en fyrhörning. Längden på kanterna kommer att vara längden på sidorna eller diagonalerna på fyrhörningen.

Bretschneiders relationer

Bretschneider-relationerna är förhållandet mellan sidorna a, b, c, d och motsatta vinklar och diagonaler e, f för en enkel (icke-självskärande) fyrhörning: $\vinkel A,\vinkel C$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\angle A+\angle C)

e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2))

e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2))

Särskilda raka linjer i fyrhörningen

Mellersta linjerna i fyrhörningen

Låt G, I, H, J vara mittpunkterna på sidorna av en konvex fyrhörning ABCD , och E, F är mittpunkterna på dess diagonaler. Låt oss kalla tre segment GH, IJ, EF respektive den första, andra och tredje mittlinjen av fyrhörningen . De två första av dem kallas också bimedianer [2] .

Satser om mittlinjerna för en fyrhörning

Generaliserade Newtons teorem . Alla tre mittlinjerna i fyrhörningen skär varandra i en punkt (vid mittpunkten av hörnen ("vertex centroid") på fyrhörningen) och delar den.
Mittpunkterna E och F för de två diagonalerna, liksom tyngdpunkten för hörnen K på den konvexa fyrhörningen, ligger på samma linje EF . Denna räta linje kallas Newtons räta linje .
Observera att Newton-Gauss- linjen sammanfaller med Newtonlinjen , eftersom båda passerar genom diagonalernas mittpunkter.
Varignons teorem :
- Fyrkanter GIHJ , EHFG, JEIF är parallellogram och kallas Varignon-parallellogram . Den första av dem kommer vi att kalla Varignons stora parallellogram
- Centrum för dessa tre Varignon-parallellogram är skärningspunkterna för deras diagonalpar.
- Centrum för alla tre Varignon-parallellogrammen ligger i samma punkt - i mitten av segmentet som förbinder mittpunkterna på sidorna av den ursprungliga fyrhörningen (i samma punkt, segmenten som förbinder mittpunkterna på motsatta sidor - diagonalerna på Varignon-parallellogrammet ) skära varandra.
- Omkretsen av det stora Varignon-parallellogrammet är lika med summan av diagonalerna för den ursprungliga fyrhörningen. $GIHJ$
- Arean av det stora Varignon-parallellogrammet är lika med halva arean av den ursprungliga fyrhörningen , dvs. $GIHJ$ $ABCD$ $S_{GIHJ}={\frac {1}{2}}S_{ABCD}$ .
- Arean av den ursprungliga fyrhörningen är lika med produkten av den första och andra mittlinjen av fyrhörningen och sinus för vinkeln mellan dem, det vill säga $ABCD$ $GH$ $IJ$ $\phi$ $S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi$ .
- Summan av kvadraterna på de tre mittlinjerna i en fyrkant är lika med en fjärdedel av summan av kvadraterna på alla dess sidor och diagonaler: $GH^{2}+IJ^{2}+EF^{2}={\frac {1}{4}}(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{ 2}+BD^{2}+AC^{2})$ .
Eulerformel : fyrdubbla kvadraten på avståndet mellan diagonalernas mittpunkter är lika med summan av kvadraterna på sidorna på fyrhörningen minus summan av kvadraterna på dess diagonaler.
Matematiskt, för figuren längst upp till höger med den grå fyrhörningen ABCD , skrivs Eulers formel som: $(2EF)^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}-BD^{2}-AC^{2}$ .

Newtons linje

Om i en fyrkant två par av motsatta sidor inte är parallella, så ligger de två mittpunkterna på dess diagonaler på en rät linje som går genom mittpunkten av segmentet som förbinder de två skärningspunkterna för dessa två par av motsatta sidor (punkter visas i röd i figuren). Denna räta linje kallas Newtons räta linje (den visas i grönt i figuren). I detta fall är Newtonlinjen alltid vinkelrät mot Auberlinjen .
Punkter som ligger på Newtons linje uppfyller Annas teorem .

Ortopolära linjer av ortopoler av trippel av hörn av en fyrhörning

Om en fast rät linje ℓ ges , och någon av de tre hörnen på fyrhörningen är vald , så ligger alla ortopolerna på den givna räta linjen ℓ med avseende på alla sådana trianglar på samma räta linje. Denna linje kallas den ortopolära linjen för den givna linjen ℓ med avseende på fyrhörningen [3] $ABCD$ $ABCD$

Särskilda punkter på fyrhörningen

Centroid av en fyrhörning

Fyra segment, som var och en förbinder fyrhörningens hörn med tyngdpunkten i triangeln som bildas av de återstående tre hörnen, skär varandra vid fyrhörningens tyngdpunkt och delar den i förhållandet 3:1, räknat från hörnen.
Se även egenskaperna för tyngdpunkten i en fyrhörning.

Poncelet-punkten för fyrhörningen

Det finns en Poncelet-punkt inuti fyrhörningen (se stycket "Cirklar med nio punkter av trianglar inuti fyrhörningen").

Miquels punktfyrhörning

Det finns en Miquel-punkt inuti fyrhörningen .

Cirklar med niopunktstrianglar inom en fyrhörning

I en godtycklig konvex fyrhörning skär cirklarna av trianglarnas nio punkter , i vilka den delas med två diagonaler, i en punkt - vid Poncelet-punkten [4] . $ABCD$ $ABC,BCD,CDA,DAB$

Särskilda fall av fyrhörningar

Inskrivna fyrhörningar

De säger att om en cirkel kan omskrivas nära en fyrhörning , så är fyrhörningen inskriven i denna cirkel , och vice versa.
I synnerhet fyrhörningar inskrivna i en cirkel är: rektangel , kvadrat , likbent eller likbent trapezium , antiparallelogram .
Satser för inskrivna fyrhörningar :
- Två Ptolemaios satser . För en enkel (icke-självskärande) fyrhörning inskriven i en cirkel, med längden av par av motsatta sidor: a och c , b och d , samt längden på diagonalerna e och f , gäller följande:

1) Ptolemaios första sats

ef=ac+bd

; 2) Ptolemaios andra sats

${\frac {e}{f}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{a\cdot b+c\cdot d}}).$ I den sista formeln vilar par av intilliggande sidor av täljaren a och d , b och c med sina ändar på en diagonal med längden e . Ett liknande uttalande gäller för nämnaren.

3) Formler för längderna på diagonaler (följder av Ptolemaios första och andra satser )

{\displaystyle e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd))))

och

{\displaystyle f={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

- Monges sats om ortocentrum för en inskriven fyrhörning. 4 linjesegment (4 antimedatriser [5] ) dragna från mittpunkterna på 4 sidor av den inskrivna fyrhörningen vinkelrät mot de motsatta sidorna skär vid ortocentrum H av denna fyrhörning [6] [7] .
- Sats om inskription i en cirkel av ett par diagonala trianglar . Om en konvex fyrhörning är inskriven i någon cirkel, så är också ett par trianglar inskrivna i samma cirkel som fyrhörningen är indelad i med någon av dess diagonaler (sammanslutning med triangelns cirklar).
- Sats av fyra mediatriser . Det följer av det sista påståendet: om tre av de fyra mediatriserna (eller medianperpendicularerna ) dragna till sidorna av en konvex fyrhörning skär varandra vid en punkt, då skär mediatrixen på dess fjärde sida också i samma punkt. Dessutom är en sådan fyrhörning inskriven i en viss cirkel, vars centrum är i skärningspunkten för de angivna mediatriserna [8] .

- Satser om fyra diagonala trianglar och deras inskrivna cirklar [9] . Om vi ritar en diagonal i en fyrhörning inskriven i en cirkel, och skriver in två cirklar i de resulterande två trianglarna, gör du detsamma genom att rita den andra diagonalen, då är mitten av de fyra formade cirklarna rektangelns hörn (dvs. , de ligger på samma cirkel). Denna sats kallas det japanska satsen. (se fig.). Dessutom är ortocenterna för de fyra trianglarna som beskrivs här hörn av en fyrhörning som liknar den ursprungliga fyrhörningen ABCD (det vill säga de ligger också på en annan cirkel, eftersom hörnen på den ursprungliga inskrivna fyrhörningen ligger på någon cirkel). Slutligen ligger tyngdpunkterna för dessa fyra trianglar på den tredje cirkeln [10] .
- Satsen om fyra projektioner av hörn av en inskriven fyrhörning på dess diagonal [11] . Låta vara en inskriven fyrhörning, vara basen av den vinkelräta tappade från spetsen till diagonalen ; punkter definieras på liknande sätt . Då ligger punkterna på samma cirkel. $ABCD$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$
- Brocards teorem . Mitten av den omskrivna cirkeln runt fyrhörningen är skärningspunkten för triangelns höjder med hörnen vid skärningspunkten för diagonalerna och vid skärningspunkterna för motsatta sidor.

Kriterier för inskrivna fyrhörningar :
- Det första kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . En cirkel kan omskrivas om en fyrhörning om och endast om summan av de motsatta vinklarna är 180°, det vill säga:

\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }

- Det andra kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . En cirkel kan omskrivas om en fyrhörning om och endast om något par av dess motsatta sidor är antiparallellt .

- Det tredje kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . En konvex fyrhörning (se figuren till höger) som bildas av fyra givna Miquel-linjer är inskriven i en cirkel om och endast om fyrhörningens Miquel-punkt M ligger på linjen som förbinder två av linjernas sex skärningspunkter (de som är inte hörn på fyrhörningen). Det vill säga när M ligger på EF .
- En rak linje, antiparallell mot sidan av triangeln och skär den, skär av en fyrhörning från den, runt vilken en cirkel alltid kan omskrivas.
- Det fjärde kriteriet för att en fyrhörning ska skrivas in . Villkoret under vilket kombinationen av två trianglar med en lika sida ger en fyrhörning inskriven i en cirkel [12] . Så att två trianglar med tripplar av sidolängder (a, b, f) respektive (c, d, f), när de kombineras längs en gemensam sida med en längd lika med f, ger som ett resultat en fyrhörning inskriven i en cirkel med en sekvens av sidor ( a , b , c , d ), villkoret [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)))

- Det sista villkoret ger ett uttryck för diagonalen f för en fyrkant inskriven i en cirkel i termer av längden på dess fyra sidor ( a , b , c , d ). Denna formel följer omedelbart när man multiplicerar och likställer med varandra de vänstra och högra delarna av formlerna som uttrycker essensen av Ptolemaios första och andra satser (se ovan).

Arean av en fyrhörning inskriven i en cirkel :
- Arean av en fyrhörning inskriven i en cirkel enligt Brahmaguptas formel är [14] :

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))),

där p är fyrhörningens halvperimeter.

- Den sista formeln följer av den allmänna formeln (1) i rutan i stycket "Area", om den tar hänsyn till att $2\theta =\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$
- Den sista formeln är en generalisering av Herons formel för fallet med en fyrhörning.
- Brahmaguptas formel för arean av en fyrkant inskriven i en cirkel kan skrivas i termer av determinanten [8] :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))$

Radie av en cirkel omskriven om en fyrhörning:

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(pa)(pb)(pc)(pd)}} }$

Inskrivna fyrhörningar med vinkelräta diagonaler

Brahmaguptas sats . För inskrivna ortodiagonala fyrhörningar är Brahmaguptas sats giltig : Om en inskriven fyrhörning har vinkelräta diagonaler som skär varandra vid en punkt , då passerar två par av dess $M$ antimediatrices genom punkten . $M$
Anmärkning . I denna sats förstås antimediatrix [15] som ett segment av fyrhörningen i figuren till höger (i analogi med den vinkelräta bisektrisen (mediatrix) mot sidan av triangeln). Den är vinkelrät mot ena sidan och passerar samtidigt genom mittpunkten på den motsatta sidan av fyrhörningen. $FE$
Satsen om cirkeln av åtta punkter i en ortodiagonal fyrhörning . Det finns ett välkänt teorem: Om diagonalerna är vinkelräta i en fyrhörning, så ligger åtta punkter på en cirkel ( cirkeln med åtta punkter på fyrhörningen ): sidornas mittpunkter och projektionerna av sidornas mittpunkter på motsatta sidor [16] . Det följer av denna sats och Brahmaguptas sats att ändarna av två par antimediatriser (åtta punkter) av en inskriven ortodiagonal fyrkant ligger på samma cirkel ( cirkel med åtta punkter på fyrhörningen ).
Partiellt inskrivna ortodiagonala fyrhörningar . Privata inskrivna ortodiagonala fyrhörningar inskrivna i en cirkel är en kvadrat , en deltoid med ett par vinkelräta motstående vinklar, en liksidig ortodiagonal trapets , och andra.

Beskrivna fyrhörningar

De säger att om en cirkel kan skrivas in i en fyrhörning , då är fyrhörningen omskriven runt denna cirkel , och vice versa.
Vissa (men inte alla) fyrhörningar har en inskriven cirkel. De kallas för omskrivna fyrhörningar .
- Särskilda fyrhörningar omskrivna om en cirkel är: romb , kvadrat , deltoid .
Kriterier för beskrivning av fyrhörningar :
- Bland egenskaperna hos de beskrivna fyrhörningarna är det viktigaste att summan av motsatta sidor är lika. Detta påstående kallas Pitotsatsen .
- Med andra ord, en konvex fyrhörning är omskriven om en cirkel om och endast om summan av längderna på motsatta sidor är lika, det vill säga: . $AB+CD=BC+AD$

Satser för omskrivna fyrhörningar :
- Sats på två lika sidor av en vinkel som tangerar en cirkel . Tangenspunkterna för den inskrivna cirkeln med fyrhörningen avskurna lika segment från hörnen på fyrhörningen.
- Sats om fortsättningen av två par motsatta sidor av en fyrhörning . Om en konvex fyrhörning varken är en trapets eller ett parallellogram , och den är omskriven runt någon cirkel, så omskrivs ett par trianglar runt samma cirkel, som erhålls genom att fortsätta dess två par motsatta sidor tills de skär varandra (sammanslutning med cirklar i triangeln).
- Sats om fyra bisektorer . Det följer av det sista påståendet: om tre av de fyra halvledarna (eller bisektrarna) ritade för de inre vinklarna för en konvex fyrhörning skär varandra vid en punkt, så skär även bisekturen för dess fjärde inre vinkel i samma punkt. Dessutom beskrivs en sådan fyrhörning runt en viss cirkel, vars centrum är i skärningspunkten för de angivna bisektrarna [17] .
- Newtons sats . Om en fyrhörning är inskriven runt en cirkel, ligger mitten av dess inskrivna cirkel på Newtons linje . Ett mer exakt uttalande finns nedan.
- Newtons sats . I någon omskriven fyrhörning ligger de två mittpunkterna av diagonalerna och mitten av den inskrivna cirkeln på samma räta linje. På den ligger mitten av segmentet med ändar vid skärningspunkterna för fortsättningarna av de motsatta sidorna av fyrhörningen (om de inte är parallella). Denna linje kallas Newtons linje . I figuren (den andra gruppen av figurer från toppen) är den grön, diagonalerna är röda, segmentet med ändar vid skärningspunkterna för fortsättningarna av de motsatta sidorna av fyrhörningen är också rött.
- Brocards teorem . Mitten av den omskrivna cirkeln runt fyrhörningen är skärningspunkten för triangelns höjder med hörnen vid skärningspunkten för diagonalerna och vid skärningspunkterna för motsatta sidor.

Arean av den omskrivna fyrhörningen
- Villkoret innebär att . $AB+CD=BC+AD$ $a+c=b+d$

Vi introducerar begreppet en semiperimeter p , vi har . Därför har vi också . Vidare kan du lägga märke till: Därför har vi, enligt formel (1), i rutan i stycket "Area" $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $pa=c;pb=d;pc=a;pd=b.$ $(pa)(pb)(pc)(pd)=abcd.$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }}=

$={\sqrt {abcd-abcd\cos ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd}}\sin \theta .$

- Eftersom fyrhörningen beskrivs är dess area också lika med halva omkretsen p gånger radien r för den inskrivna cirkeln: . $S=pr$

Inskrivna-omskrivna fyrhörningar

Inskrivna-omskrivna fyrhörningar är fyrhörningar som både kan vara omskrivna kring någon cirkel och även inskrivna i någon cirkel. Andra namn för dem är bicentriska fyrhörningar, ackordtangenta fyrhörningar eller dubbelcirkelfyrhörningar.
Privata inskrivna-omskrivna fyrhörningar är en kvadrat och en romboid med ett par lika motsatta vinklar på 90 grader.

Egenskaper

Kriterier för samtidig inskription och omskrivning av en fyrhörning
- Vilket som helst av de två villkoren nedan, taget separat, är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för att en given konvex fyrhörning ska vara inskriven-omskriven för vissa cirklar:

AB+CD=BC+AD

och .

\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }

- Uppfyllandet av de två sista villkoren samtidigt för någon konvex fyrhörning är nödvändigt och tillräckligt för att denna fyrhörning ska vara inskriven-omskriven .

Satser för inskrivna-omskrivna fyrhörningar

- Fuss ' teorem. För radierna R och r för de omskrivna respektive inskrivna cirklarna för den givna fyrhörningen och avståndet x mellan centra och för dessa cirklar (se fig.), uppfylls en relation som representerar en fyrsidig analog till Eulers sats (där är en liknande Euler-formel för en triangel) [18] [19] [20 ] : $jag$ $O$

{\frac {1}{(R+x)^{2}}}+{\frac {1}{(Rx)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}}

eller

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

eller

{\displaystyle x^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

eller

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

- Teorem . Följande tre villkor för en inskriven-omskriven fyrhörning gäller punkter där en cirkel inskriven i en tangentfyrhörning tangerar sidorna. Om incirkeln tangerar sidorna AB , BC , CD , DA i punkterna W , X , Y , Z respektive, så är tangentfyrhörningen ABCD också omskriven om och endast om något av följande tre villkor är uppfyllt (se figur): [21]
- WY vinkelrätt mot XZ
- ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
- ${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$ .
- Poncelets sats . För en inskriven-omskriven fyrhörning är Poncelets sats giltig .

Arean av en inskriven-omskriven fyrhörning

- Om fyrhörningen är både inskriven och beskriven, har vi enligt formel (1) i rutan i stycket "Area": . $S={\sqrt {abcd))$
- Den sista formeln erhålls från areaformeln i föregående stycke för den omskrivna fyrhörningen , givet att (för den inskrivna fyrhörningen ). $S={\sqrt {abcd}}\sin \theta$ $\theta =90^{\circ };\sin 90^{0}=1$ $2\theta =~\vinkel A+\vinkel C=\vinkel B+\vinkel D=180^{\cirkel }$
- Eftersom fyrhörningen är omskriven är dess area också lika med hälften av dess omkrets p gånger radien r för den inskrivna cirkeln: . $S=pr$
- En annan formel för arean av en inskriven-omskriven fyrhörning:

S={\frac {p^{2}}{\operatörsnamn {tg} {\frac {A}{2}}+\operatörsnamn {tg} {\frac {B}{2}}+\operatörsnamn {tg} {\frac {C}{2}}+\operatörsnamn {tg} {\frac {D}{2}}}}

Uppdelning av sidorna på en tangentfyrhörning genom kontaktpunkter med cirkeln

De åtta "tangenslängderna" ("e", "f", "g", "h" i figuren till höger) av en tangentfyrhörning är linjesegment från vertex till punkterna där cirkeln berör sidorna. Från varje vertex finns två tangenter till cirkeln med lika långa linjer (se figur).
Låt oss också beteckna de två "tangentiala ackorden" ("k" och "l" i figuren) för tangentfyrhörningen - det här är linjesegment som förbinder punkter på motsatta sidor, där cirkeln berör dessa sidor. De är också diagonalerna för en "kontaktfyrhörning" som har hörn i kontaktpunkterna för fyrhörningen med cirkeln. $ABCD$

Då är arean av den inskrivna-omskrivna fyrhörningen [21] :s.128

S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h),

såväl som

S=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Om, förutom två ackord för tangenterna k och l och diagonalerna p och q , ytterligare två bimedianer m och n av en konvex fyrhörning introduceras som segment av räta linjer som förbinder mittpunkterna på motsatta sidor, då är arean av den inskrivna -omskriven fyrhörning kommer att vara lika med [22]

S=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

S={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Oomskrivna fyrhörningar

En oomskriven fyrhörning för en cirkel

En oomskriven fyrhörning är en konvex fyrhörning vars förlängningar av alla fyra sidor tangerar cirkeln (utanför fyrhörningen) [23] . Cirkeln kallas excirkel . Mitten av cirkeln ligger i skärningspunkten mellan sex bisektrar.
En cirkel finns inte för varje fyrhörning. Om de motsatta sidorna av en konvex fyrhörning ABCD skär varandra i punkterna E och F , så är villkoret för att dess out-of-beskrivning är något av de två villkoren nedan:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

En oomskriven fyrhörning för en parabel

Parabel , utskriven för en fyrhörning . En sådan parabel finns för alla konvexa fyrhörningar och den berör alla fyra sidorna av den givna fyrhörningen (fyrhörningen) eller deras förlängningar. Dess riktning sammanfaller med Auber-Steiner-linjen [24] .

Fyrhörningar med vinkelräta element

Nedan finns stycken för fyrhörningar med vinkelräta elementpar: med 2 vinkelräta sidor och med 2 vinkelräta diagonaler.
Dessa fyrhörningar urartar till en rätvinklig triangel , om längden på en önskad sida (av deras 4 sidor), som ligger nära rät vinkel eller vilar med sina ändar på denna vinkel, tenderar mot noll.

Fyrhörningar med vinkelräta sidor

Fyrhörningar med vinkelräta motsatta sidor

Två motsatta sidor av en fyrhörning är vinkelräta om och endast om summan av kvadraterna på de andra två motsatta sidorna är lika med summan av kvadraterna på diagonalerna.
Om summan av vinklarna vid en av baserna i trapetsen är 90°, skärs förlängningarna av de laterala (motstående) sidorna i räta vinklar, och segmentet som förbinder basernas mittpunkter är lika med halva skillnaden mellan baserna.

Fyrhörningar med 2 par vinkelräta intilliggande sidor

Om en konvex fyrhörning har två par intilliggande sidor som är vinkelräta (det vill säga två motsatta vinklar är räta), så kan denna fyrhörning inskrivas i någon cirkel. Dessutom kommer diametern på denna cirkel att vara den diagonal på vilken de angivna två paren av intilliggande sidor vilar i ena änden.
Privata fyrhörningar med vinkelräta sidor är: rektangel , kvadratisk och rektangulär trapets .

Fyrhörningar med 3 vinkelräta intilliggande sidor

Om en konvex fyrhörning har 3 intilliggande sidor vinkelräta (det vill säga 2 inre vinklar är räta), då är denna fyrhörning en rektangulär trapets .

Fyrhörningar med vinkelräta diagonaler

Fyrhörningar med vinkelräta diagonaler kallas ortodiagonala fyrhörningar.
Diagonalerna på en fyrhörning är vinkelräta om och endast om summan av kvadraterna på motsatta sidor är lika.
Arean av en ortodiagonal fyrhörning är lika med hälften av produkten av dess diagonaler: . $S={\frac {1}{2}}ef$
Mittlinjerna i en fyrhörning är lika om och endast om summan av kvadraterna på dess motsatta sidor är lika.
Antimediatrix av en fyrhörning är ett linjesegment som kommer ut från mitten av en av dess sidor och är vinkelrätt mot den motsatta sidan.
Brahmaguptas sats . Om en fyrhörning har vinkelräta diagonaler och kan inskrivas i någon cirkel, då skär dess fyra antimediatriser vid en punkt. Dessutom är denna skärningspunkt för en antimediatris skärningspunkten för dess diagonaler.
Om en fyrhörning har vinkelräta diagonaler och den kan skrivas in i någon cirkel, så är den fyrdubbla kvadraten på dess radie R lika med summan av kvadraterna på ett par av dess motsatta sidor: $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}.$
Om en fyrhörning har vinkelräta diagonaler och kan omskrivas kring en viss cirkel, är produkterna av två par motsatta sidor lika: $ac=bd.$
En Varignon parallellogram med hörn i mitten av sidorna av en ortodiagonal fyrhörning är en rektangel .
Om diagonaler är vinkelräta i en fyrhörning, ligger åtta punkter på en cirkel ( cirkeln med åtta punkter på fyrhörningen ): sidornas mittpunkter och projektionerna av sidornas mittpunkter på motsatta sidor [16] .
Särskilda ortodiagonala fyrhörningar är: romb , kvadrat , deltoid .
Om en konvex fyrhörning har vinkelräta diagonaler, då är mittpunkterna på dess fyra sidor rektangelns hörn (en konsekvens av Varignons sats ). Det omvända är också sant. Dessutom är diagonalerna i en rektangel lika. Därför är diagonalerna på en konvex fyrhörning vinkelräta om och endast om längden på dess två bimedianer (längden på två segment som förbinder mittpunkterna på motsatta sidor) är lika [25] .
Tabell som jämför egenskaperna hos den omskrivna och ortodiagonala fyrhörningen:

Deras metriska egenskaper är mycket lika (se tabell) [25] . Här anges: a , b , c , d - längderna på deras sidor, R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , och radierna för de omskrivna cirklarna ritade genom dessa sidor och genom skärningspunkten för diagonalerna , h 1 , h 2 , h 3 , h 4 är höjderna som sänks ner på dem från skärningspunkten mellan diagonalerna .

avgränsad fyrhörning	ortodiagonal fyrhörning
$a+c=b+d$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2))$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 }{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Dessutom, för medianerna på sidorna av en ortodiagonal fyrhörning, sänkt från skärningspunkten för diagonalerna , är det sant: . ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$

Vilken ortodiagonal fyrhörning som helst kan inskrivas med oändligt många rektanglar som tillhör följande två uppsättningar:

(i) rektanglar vars sidor är parallella med diagonalerna på en ortodiagonal fyrhörning (ii) rektanglar definierade av Pascals [26] [27] [28] punktcirklar .

Egenskaper för diagonalerna för vissa fyrhörningar

Följande tabell visar om diagonalerna för några av de mest grundläggande fyrhörningarna har en halvering vid sin skärningspunkt, om diagonalerna är vinkelräta , om längderna på diagonalerna är lika och om de delar vinklar [29] . Listan hänvisar till de mest allmänna fallen och uttömmar de namngivna delmängderna av fyrhörningar.

Fyrsidig	Dela diagonalerna på mitten vid deras skärningspunkt	Diagonalernas vinkelräthet	Lika längder på diagonaler	Deling av hörn med diagonaler
Trapets	Inte	Se not 1	Inte	Inte
Likbent trapets	Inte	Se not 1	Ja	Minst två motsatta hörn
Parallellogram	Ja	Inte	Inte	Inte
Deltoid	Se anmärkning 2	Ja	Se anmärkning 2	Se anmärkning 2
Rektangel	Ja	Inte	Ja	Inte
Romb	Ja	Ja	Inte	Ja
Fyrkant	Ja	Ja	Ja	Ja

Not 1: De vanligaste trapetserna och likbenta trapetserna har inte vinkelräta diagonaler, men det finns ett oändligt antal (icke-lika) trapetser och likbenta trapetser som har vinkelräta diagonaler och inte är som någon annan namngiven fyrhörning .
Anmärkning 2: I en deltoid delar den ena diagonalen den andra. En annan diagonal delar dess motsatta hörn. Den vanligaste deltoiden har ojämna diagonaler, men det finns ett oändligt antal (olika) deltoider vars diagonaler är lika långa (och deltoiderna är inte någon av de andra fyrhörningarna som nämns) .

Symmetri av fyrhörningar

På fig. några symmetriska fyrhörningar visas, deras övergång till varandra, såväl som deras dualer. Beteckningar i fig.:

Drake (orm) - deltoid (romboid)
Parallelogram - parallellogram
Oregelbunden fyrhörning - oregelbunden fyrhörning
Romb - romb
Rektangel - rektangel
Fyrkantig - fyrkantig
Gyrational Square - en roterande kvadrat
Likbent trapets - likbent trapets

Område

Arean av en godtycklig icke-självskärande konvex fyrhörning med diagonaler och en vinkel mellan dem (eller deras förlängningar) är lika med: $S$ $d_{1}$ $d_{2}$ $\alfa$

$S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \alpha }{2))$

Arean av en godtycklig konvex fyrhörning är lika med produkten av den första och andra mittlinjen av fyrhörningen och sinus för vinkeln mellan dem, det vill säga $GH$ $IJ$ $\phi$

S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi

Anmärkning . De första och andra mittlinjerna i en fyrhörning är segment som förbinder mittpunkterna på dess motsatta sidor.

Arean av en godtycklig konvex fyrhörning är [14] :

16S^{2}=4d_{1}^{2}d_{2}^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\ höger)^{2}

, där , är längderna på diagonalerna; a, b, c, d är längderna på sidorna.

d_{1}

d_{2}

Arean av en godtycklig konvex fyrhörning är också lika med

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$ (ett)

där p är halvomkretsen och är halvsumman av de motsatta vinklarna på fyrhörningen (Det spelar ingen roll vilket par av motsatta vinklar man ska ta, eftersom om halvsumman av ett par motsatta vinklar är lika med , då blir halvsumman av de andra två vinklarna och ). Från denna formel för inskrivna fyrhörningar följer Brahmaguptas formel . $\theta ={\frac {\vinkel A+\vinkel C}{2))$ $\theta$ $180^{\cirkel }-\theta$ $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta$

Arean av en godtycklig konvex fyrhörning enligt formeln (1) i rutan ovan, med hänsyn till en av Bretschneider-relationerna (se ovan), kan skrivas som:

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}((ef)^{2}-(ac+bd)^{2)))))=$ $={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstil {1 \över 4}(ef+ac+bd)(ef-ac-bd)))$ där p är halvperimetern, e och f är diagonalerna på fyrhörningen.

Arean av en godtycklig, icke-självkorsande fyrhörning, given på planet av koordinaterna för dess hörn i korsningsordningen, är lika med: $S$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$

$S={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{1}-x_{2})(y_{1}+y_{2})+(x_{2}-x_ {3})(y_{2}+y_{3})+(x_{3}-x_{4})(y_{3}+y_{4})+(x_{4}-x_{1}) (y_{4}+y_{1}){\big |}$

Historik

I forntida tider använde egyptierna och några andra folk en felaktig formel för att bestämma arean av en fyrhörning - produkten av halvsummor av dess motsatta sidor a, b, c, d [30] :

S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}

För icke-rektangulära fyrhörningar ger denna formel en överskattad yta. Det kan antas att det endast användes för att bestämma arean av nästan rektangulära tomter. Med felaktiga mätningar av sidorna av en rektangel, låter den här formeln dig förbättra noggrannheten i resultatet genom att beräkna genomsnittet av de ursprungliga måtten.

Se även

Polygoner

Efter antal sidor

Monogon
Bigon
Triangel
Fyrsidig
Pentagon
Sexhörning
Heptagon
Oktogon
femhörning
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretton
tetradekagon
Pentagon
Sexhörning
Sjutton
oktogon
Nittonagon
Dodecagon
Tjugoensidig
Twenty-two-angle
Twentytrigon
Tjugofyrkantig
Tjugo femhörning
Tjugooktagon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrtio kvadratisk
Forty Bicagon
Pentecostal
Pentecostal
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ sv
Millagon
Tio tusen gon
Hundratusendel
Milliogon
oändlighet

korrekt

konvex	Triangel Fyrkant Pentagon Sexhörning Heptagon Oktogon femhörning tetradekagon Sjutton 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stellate	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trianglar

Fyrhörningar

se även

Anteckningar

↑ Yakov Ponarin . Elementär geometri. Volym 1: Planimetri, plantransformationer . — Liter, 2018-07-11. - S. 52. - 312 sid.
↑ EW Weisstein. bimedian . MathWorld - En Wolfram webbresurs. (obestämd)
↑ Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA
↑ Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , sid. 118, uppgift 9.
↑ För definitionen av antimedatris, se Ordlistan för planimetri
↑ Anmärkningsvärda punkter och linjer av fyrkanter// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Monges teorem// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ 1 2 Starikov, 2014 , sid. 38, höger kolumn, punkt 7.
↑ Ayeme , sid. 6, ex. 8, fig. 13.
↑ Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads , Mathematical Olympiad Treasures , Springer, sid. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
↑ Ayeme , sid. 5, ex. 7, fig. 11, en följd.
↑ Se underavsnittet "Diagonaler" i artikeln " Inskriven fyrhörning "
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ 1 2 Ponarin , sid. 74.
↑ Starikov, 2014 , sid. 7-39.
↑ 1 2 Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , sid. 118, uppgift 11.
↑ Starikov, 2014 , sid. 39, vänstra kolumnen, sista stycket.
↑ Dorrie, Heinrich. 100 stora problem med elementär matematik : deras historia och lösningar . - New York: Dover, 1965. - S. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
↑ Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [1] (länk ej tillgänglig) , 1998, s. 158-164.
↑ Salazar, Juan Carlos (2006), Fuss's Theorem, Mathematical Gazette vol 90 (juli): 306–307 .
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2010), Characterizations of Bicentric Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol 10: 165–173 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf > .
↑ Josefsson, Martin (2011), The Area of a Bicentric Quadrilateral , Forum Geometricorum vol 11: 155–164 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf > .
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , sid. 33-52.
↑ Junko HIRAKAWA. Några satser om ortopolen. Tohoku Mathematical Journal, första serien. 1933 vol. 36. P. 253, Lemma I// https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2012), Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol 12: 13–25 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf > .
↑ David, Fraivert (2019), A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles , Journal for Geometry and Graphics Vol . 23: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > .
↑ David, Fraivert (2017), Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals , Forum Geometricorum vol. 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf > .
↑ Freivert, D. M. (2019), A New Topic in Euclidean Geometry on the Plane: Theory of "Pascal Points" Formed by a Circle on the Sides of a Quadrilateral , Matematisk utbildning: State of the Art och Perspectives: Proceedings of the International Scientific Conference , < https:///libr.msu.by/handle/123456789/9675 >
↑ Jennifer Kahle, Geometry: Basic ideas. Geometry: Basic ideas [2] , tillgänglig 28 december 2012.
↑ G. G. Zeiten Matematikens historia under antiken och medeltiden, GTTI, M-L, 1932.

Litteratur

Boltjansky V. , Quadrangles . Kvant , nr 9, 1974.
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .
Starikov V. N. Geometriforskning // Samling av publikationer från den vetenskapliga tidskriften Globus baserad på materialet från den V: e internationella vetenskapligt-praktiska konferensen "Achievements and problems of modern science", St. Petersburg: en samling artiklar (standardnivå, akademisk) nivå) // Vetenskaplig tidskrift Globus . - S-P., 2016.
Starikov V. N. Notes on Geometry// Vetenskaplig sökning: humaniora och socioekonomiska vetenskaper: en samling vetenskapliga artiklar / Kap. ed. Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Utgåva. 1 .
Matematik i uppgifter. Samling av material från fältskolor i Moskva-laget för den allryska matematiska olympiaden / Redigerad av A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov och A. V. Shapovalov .. - Moskva: MTsNMO, 2009 - ISBN-5-9708 477-4 .
Jean-Louis Ayeme. Feurbachs teorem. Ett nytt syntetiskt rent bevis. (inte tillgänglig länk) . Hämtad 2 oktober 2016. Arkiverad från originalet 13 november 2013. (ryska) En något utökad översättning - "Around the Problem of Archimedes"
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. Ett villkor att en tangentiell fyrhörning också är en kordal // Mathematical Communications. - 2007. - Utgåva. 12 .
D. Fraivert, A. Sigler och M. Stupel. Vanliga egenskaper hos trapetser och konvexa fyrhörningar // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 38 . — S. 49–71. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121635 .