Likdiagonal fyrhörning

I euklidisk geometri är en liksidig fyrhörning en konvex fyrhörning vars två diagonaler är lika långa. Likdiagonala fyrhörningar var av stor betydelse i forntida indisk matematik , där man i klassificeringen först urskiljde ekviddiagonala fyrhörningar, och först därefter delades fyrhörningar in i andra typer [1] .

Särskilda tillfällen

Exempel på liksidiga fyrhörningar är likbenta trapetser , rektanglar och kvadrater .

Bland alla fyrhörningar har den ekvidagonala deltoiden med vinklarna π/3, 5π/12, 5π/6 och 5π/12 [2] [3] det största förhållandet mellan omkrets och diameter .

Beskrivning

En konvex fyrhörning har lika diagonaler om och bara om dess Varignon-parallellogram som bildas av sidornas mittpunkter är en romb . Ett ekvivalent villkor är att fyrhörningens bimedianer (diagonalerna i Varignons parallellologoamm) är vinkelräta [4] .

En konvex fyrhörning med diagonala längder och bimedianlängder och är likdiagonal om och endast om [5]

Område

Arean K för en liksidig fyrhörning kan enkelt beräknas om de bimedianlängder m och n är kända . En fyrhörning är likdiagonal om och endast om [6] [7]

Detta är en direkt följd av det faktum att arean av en konvex fyrhörning är dubbelt så stor som arean av Varignon-parallellogen, och att diagonalerna i detta parallellogram är fyrhörningens bimedianer. Med hjälp av bimedianlängdsformlerna kan arean uttryckas i termer av sidorna a, b, c, d på en likdiagonal fyrhörning och avståndet x mellan diagonalernas mittpunkter [6]

En annan areaformel kan erhållas genom att ta p = q i formeln för arean av en konvex fyrhörning .

Förhållande med andra typer av fyrhörningar

Ett parallellogram är likt om och endast om det är en rektangel [8] , och en trapets är liksidigt om och endast om den är likbent . Inskrivna ekvidagonala fyrhörningar är alltid likbenta trapetser.

Det finns en dualitet mellan liksidiga fyrhörningar och ortodiagonala fyrhörningar - en fyrhörning är liksidig om och endast om dess Varignon-parallellogram har vinkelräta diagonaler (dvs. är en romb), och en fyrhörning har vinkelräta diagonaler om och endast om dess Variequiignon. parallellogonal är (dvs. är en rhombus) är en rektangel) [4] . På motsvarande sätt har en fyrhörning lika diagonaler om och endast om dess bimedianer är vinkelräta, och den har vinkelräta diagonaler om och endast om dess bimedianer är lika [9] , har Sylvester [10] visat ett ytterligare samband mellan equidiagonala och ortodiagonala fyrhörningar med hjälp av en generalisering Van Obels satser [11] .

Fyrhörningar som är både ortodiagonala och likdiagonala, och vars diagonaler är minst lika långa som alla sidor av fyrhörningen, har en maximal area i förhållande till sin diameter, vilket löser n  = 4 fallet med polygonproblemet med den största enhetsdiametern . Torget är en sådan fyrhörning, men det finns oändligt många andra. Liksidiga fyrhörningar med vinkelräta diagonaler kallas rms-fyrhörningar [12] eftersom dessa är de enda fyrhörningar för vilka Varignon-parallellogrammet (med hörn i mitten av sidorna på fyrhörningen) är en kvadrat. Sådana fyrhörningar med sidorna a, b, c och d har area [13] .

Anteckningar

  1. ↑ Colebrooke, 1817 , sid. 58.
  2. ↑ Ball, 1973 , sid. 298–303.
  3. ↑ Griffiths, Culpin, 1975 , sid. 165–175.
  4. ↑ 1 2 de Villiers, 2009 , sid. 58.
  5. ↑ Josefsson, 2014 , sid. 129-144, Prop.1.
  6. ↑ 12 Josefsson , 2014 , sid. 19.
  7. ↑ Josefsson, 2014 , sid. 129-144, följd 4.
  8. ↑ Gerdes, 1988 , sid. 137–162.
  9. ↑ Josefsson, 2012 , sid. 13–25, Se sats 7 på s. 19.
  10. ↑ Silvester, 2006 .
  11. ↑ Silvester, 2006 , sid. 2–12.
  12. ↑ Josefsson, 2014 , sid. 137.
  13. ↑ Josefsson, 2014 , sid. 129-144, vol. 16.

Litteratur