Trapets

En trapets (från annan grekisk τραπέζιον - " bord " från τράπεζα - " bord ") är en konvex fyrhörning , där två sidor är parallella , och de andra två sidorna inte är parallella [1] . Ofta utelämnas det sista villkoret i definitionen av en trapets (se nedan). De parallella motsatta sidorna kallas trapetsens baser, och de andra två kallas sidorna. Medianlinjen är ett segment som förbinder sidornas mittpunkter.

Definitionsvarianter

Det finns en annan definition av en trapets.

En trapets är en konvex fyrhörning med två sidor parallella [2] [3] . Enligt denna definition är ett parallellogram och en rektangel specialfall av en trapets. Men när man använder denna definition upphör de flesta av tecknen och egenskaperna hos en likbent trapetsoid att vara sanna (eftersom parallellogrammet blir dess specialfall). Formlerna som ges i avsnittet Allmänna egenskaper hos formeln är sanna för båda definitionerna av en trapets.

Relaterade definitioner

Element i trapetsen

Parallella motsatta sidor kallas baserna för en trapets.
De andra två sidorna kallas sidor .
Segmentet som förbinder sidornas mittpunkter kallas trapetsens mittlinje .
Vinkeln vid basen av en trapets är dess inre vinkel som bildas av basen med sidan.

Typer av trapezium

En trapets vars sidor är lika kallas en likbent trapets (mindre ofta en likbent [4] eller likbent [5] trapets).
En trapets som har räta vinklar på sidan kallas rektangulär .

Likbent trapets
Rektangulär trapets

Egenskaper

Trapetets medianlinje är parallell med baserna och lika med hälften av deras summa. [7]
Segmentet som förbinder mittpunkterna på trapetsens diagonaler är lika med halva skillnaden mellan baserna och ligger på mittlinjen.
Ett segment som är parallellt med baserna och som passerar genom skärningspunkten för diagonalerna delas med det senare på mitten och är lika med det harmoniska medelvärdet av längderna på trapetsens baser. ${\frac {2xy}{x+y}}$
En cirkel kan inskrivas i en trapets om summan av längderna av trapetsens baser är lika med summan av längderna på dess sidor.
Skärningspunkten för diagonalerna för en trapets, skärningspunkten för förlängningarna av dess sidor och mittpunkterna på baserna ligger på samma räta linje.
Om summan av vinklarna vid en av trapetsens baser är 90°, så skär förlängningarna av de laterala sidorna i en rät vinkel, och segmentet som förbinder basernas mittpunkter är lika med halva skillnaden mellan baserna .
Diagonalerna på en trapets delar upp den i fyra trianglar. Två av dem, intill baserna, är lika. De andra två, intill sidorna, har samma yta.
Om förhållandet mellan baserna är , då är förhållandet mellan områdena av trianglarna intill baserna . $K$ $K^{2}$
Höjden på trapetsen bestäms av formeln:

h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}+ba\right) ^{2}}}

var är den större basen, är den mindre basen och är sidorna.

b

a

c

d

Diagonalerna för en trapets och är relaterade till sidorna med förhållandet: $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}

De kan uttryckas uttryckligen:

d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

Om tvärtom sidorna och diagonalerna är kända, uttrycks baserna med formlerna:

a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}

b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}

och med kända baser och diagonaler är sidorna följande:

c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

Om höjden är känd , då

h

d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\höger)^{2}}}

Newtons linje för en trapets sammanfaller med dess mittlinje .

Likbent trapetsformad

En trapets är likbent om och endast om något av följande ekvivalenta villkor är uppfyllda:

den räta linjen som passerar genom basernas mittpunkter är vinkelrät mot baserna (det vill säga det är trapetsens symmetriaxel);
höjden sänkt från toppen till den större basen delar den i två segment, av vilka det ena är lika med halva summan av baserna, det andra är halva skillnaden mellan baserna;
vinklar vid valfri bas är lika;
summan av motsatta vinklar är 180°;
längden på diagonalerna är lika;
en cirkel kan beskrivas runt denna trapets;
hörn av denna trapets är också hörn av något antiparallelogram .

Förutom

om diagonalerna i en likbent trapets är vinkelräta, så är höjden halva summan av baserna.

Inskrivna och omskrivna cirklar

Om summan av baserna i en trapets är lika med summan av sidorna, kan en cirkel inskrivas i den . Medianlinjen i detta fall är lika med summan av sidorna dividerat med 2 (eftersom trapetsens medianlinje är lika med halva summan av baserna).
I en trapets är dess sida synlig från mitten av den inskrivna cirkeln i en vinkel på 90°.
Om en trapets kan skrivas in i en cirkel, så är den likbent.
Radie av den omskrivna cirkeln av en likbent trapets:

R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(pb)(pc)(p-d_{1})))}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2 }}{4-\left({\frac {ba}{c}}\right)^{2}}}}

var är den laterala sidan, är den större basen, är den mindre basen, är diagonalerna för en likbent trapets.

p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c

b

a

d_{1}=d_{2}

Om , då kan en cirkel med radie inskrivas i en likbent trapets $a+b=2c$

r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}

Om en cirkel med radie är inskriven i en trapets , och den delar den laterala sidan av kontaktpunkten i två segment - och - sedan . $r$ $v$ $w$ $r={\sqrt {vw))$

Område

Här är formlerna som är specifika för trapetsen. Se även formler för arean av godtyckliga fyrhörningar .

Om och är baser och är höjder, är areaformeln : $a$ $b$ $h$

S={\frac {(a+b)}{2}}h

I fallet - mittlinje och - höjd, areaformel : $m$ $h$

S=\displaystyle mh

Obs: Ovanstående två formler är ekvivalenta eftersom halva summan av baserna är lika med trapetsens mittlinje:

m={\frac {(a+b)}{2}}

Formeln, var är baserna och är sidorna av trapetsen: $a<b$ $c$ $d$

S={\frac {a+b}{4(ba)}}{\sqrt {(a+c+db)(a+dbc)(a+cbd)(b+c+da)))).

eller

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{ 2}}{ba}}+ba\right)^{2}}}

Mittlinjen delar figuren i två trapetser, vars områden är relaterade till [8] $m$

{\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3a+b}{a+3b}}

Arean av en likbent trapets med en inskriven cirkelradie på , och en vinkel vid basen : $r$ $\alfa$

S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}

Area av en likbent trapets:

S=(bc\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }

där är sidan, är den större basen, är den mindre basen, är vinkeln mellan den större basen och sidan [9] .

c

b

a

\gamma

Arean av en likbent trapets genom dess sidor

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(ba)^{2}}}

Historik

Ordet "trapets" kommer från det grekiska ordet för andra grekiska. τραπέζιον "bord" (förkortat från τράπεζα "bord"), som betyder tabell. På ryska kommer ordet "måltid" (mat) från detta ord.

Anteckningar

↑ Matematisk encyklopedisk ordbok . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - S. 587 .
↑ All elementär matematik . Hämtad 6 juli 2015. Arkiverad från originalet 9 juli 2015. (obestämd)
↑ Wolfram MathWorld . Hämtad 6 juli 2015. Arkiverad från originalet 19 april 2015. (obestämd)
↑ Team av författare. En modern studentuppslagsbok. 5-11 årskurser. Alla föremål . — Liter, 2015-09-03. - S. 82. - 482 sid. — ISBN 9785457410022 .
↑ M. I. Skanavi. Elementär matematik . - 2013. - S. 437. - 611 sid. — ISBN 9785458254489 .
↑ Fyrhörningar . Arkiverad 16 september 2015 på Wayback Machine
↑ Geometri enligt Kiselyov Arkiverad 1 mars 2021 på Wayback Machine , § 99.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Elementary Mathematics. 2:a uppl., reviderad. och ytterligare — M.: Nauka, 1974. — 592 sid.
↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner 1986. S. 184

Polygoner

Efter antal sidor

Monogon
Bigon
Triangel
Fyrsidig
Pentagon
Sexhörning
Heptagon
Oktogon
femhörning
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretton
tetradekagon
Pentagon
Sexhörning
Sjutton
oktogon
Nittonagon
Dodecagon
Tjugoensidig
Twenty-two-angle
Twentytrigon
Tjugofyrkantig
Tjugo femhörning
Tjugooktagon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrtio kvadratisk
Forty Bicagon
Pentecostal
Pentecostal
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ sv
Millagon
Tio tusen gon
Hundratusendel
Milliogon
oändlighet

korrekt

konvex	Triangel Fyrkant Pentagon Sexhörning Heptagon Oktogon femhörning tetradekagon Sjutton 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stellate	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trianglar

Fyrhörningar

se även