Gauss-Wanzels sats
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 augusti 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .Gauss-Wanzels sats ger ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en vanlig gon kan konstrueras med hjälp av en kompass och rätsida .
Formulering
En vanlig -gon kan konstrueras med hjälp av en kompass och räta om och endast om , var och är icke-negativa heltal och är olika Fermat-primtal .
Anteckningar
- Detta villkor är också ekvivalent med det faktum att värdet av Euler-funktionen är en potens av två.
- För närvarande har endast fem Fermat-primtal hittats: [ett]
- En vanlig polygon kan konstrueras med en kompass och en linjal om och endast om det, i närvaro av ett längdsegment på planet , är möjligt att konstruera ett segment vars längd är lika med - cosinus för den centrala vinkeln av den givna -polygonen. Detta är i sin tur sant om och bara om den givna cosinus är ett reellt konstruerbart tal , det vill säga det kan uttryckas med heltal , enkla aritmetiska operationer och kvadratrotsextraktion .
Historik
Forntida geometrar visste hur man konstruerade vanliga -goner för och .
1796 visade Gauss möjligheten att konstruera reguljära -goner för , där finns olika Fermat -primtal . (Här motsvarar fallet antalet sidor .)
År 1837 bevisade Vanzel att det inte fanns några andra vanliga polygoner som kunde konstrueras med kompass och rätlina.
Specifika implementeringar av konstruktionen är mycket mödosamma:
- Byggandet av en vanlig sjuttonagon utfördes direkt av Gauss själv, men publicerades först av K. F. von Pfeiderer 1802 .
- En vanlig 257-gon byggdes av F. Yu Richelo 1832 [2] .
- Universitetsbiblioteket i Göttingen har ett manuskript, som är resultatet av tio års arbete av I. G. Hermes , som innehåller en metod för att konstruera en vanlig 65537-gon .
En alltför obsessiv doktorand drev sin handledare till den grad att han sa till honom: "Gå och träna på konstruktionen av en vanlig polygon med 65537 sidor." Doktoranden drog sig tillbaka för att återvända 20 år senare med lämplig konstruktion [3] .J. Littlewood
Länkar
- Jacques Cesiano Historien om att konstruera regelbundna polygoner med kompass och linjal från Euklid till Gauss Seminarium om matematikens historia 4 maj 2017 18:00, St. Petersburg, POMI , Fontanka 27, rum 106.
Anteckningar
- ↑ Se OEIS - sekvens A019434 .
- ↑ Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x 257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1832. - T. 9 . — S. 1-26, 146-161, 209-230, 337-358 .
- ↑ J. Littlewood. Matematisk blandning . - M . : Nauka, 1990. - S. 43. - ISBN 5-02-014332-4 . Arkiverad 31 juli 2021 på Wayback Machine
| Polygoner | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Efter antal sidor |
| ||||
| korrekt |
| ||||
| trianglar | |||||
| Fyrhörningar | |||||
| se även | |||||