Omskriven fyrhörning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 mars 2022; verifiering kräver 1 redigering .

I euklidisk geometri är en omskriven fyrhörning en konvex fyrhörning vars sidor tangerar en enda cirkel inuti fyrhörningen. Denna cirkel kallas den inskrivna cirkeln . De omskrivna fyrhörningarna är ett specialfall av de omskrivna polygonerna .

Alla trianglar har inskrivna cirklar, men inte alla fyrhörningar. Ett exempel på en fyrhörning där en cirkel inte kan skrivas in är en rektangel som inte är en kvadrat. Avsnittet "Egenskaper" nedan ger de nödvändiga och tillräckliga villkoren för att en fyrhörning ska avgränsas.

Särskilda tillfällen

Exempel på beskrivna fyrhörningar är deltoider , som inkluderar romber , som i sin tur inkluderar kvadrater . Deltoider är exakt de omskrivna fyrhörningar som också är ortodiagonala [1] . Om en fyrhörning är en omskriven och inskriven fyrhörning kallas den bicentral .

Egenskaper

I den beskrivna fyrhörningen skär fyra bisektrar i mitten av cirkeln. Omvänt måste en konvex fyrhörning där fyra bisektrar skär varandra i en punkt omskrivas, och halveringspunkten är mitten av den inskrivna cirkeln [2] .

Enligt Pitotsatsen summerar två par av motsatta sidor i den omskrivna fyrhörningen till samma antal, vilket är lika med halvperimetern s av fyrhörningen:

a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.

Omvänt måste en fyrhörning där a + c = b + d omskrivas. [3] [4] [2]

Om motsatta sidor i en konvex fyrhörning ABCD (som inte är en trapets ) skär varandra i punkterna E och F , då tangerar de cirkeln om och endast om [2]

\displaystyle BE+BF=DE+DF

eller

\displaystyle AE-EC=AF-FC.

Den andra likheten är nästan densamma som likheten i Urquharts sats . Skillnaden finns bara i tecken - i Urquhart-satsen, summorna och här skillnaderna (se figuren till höger).

Ett annat nödvändigt och tillräckligt villkor är att en konvex fyrhörning ABCD omskrivs om och endast om cirklarna inskrivna i trianglarna ABC och ADC berör varandra [5] .

Beskrivningen av vinklarna som bildas av diagonalen BD med sidorna av fyrhörningen ABCD tillhör Iosifescu. Han bevisade 1954 att en konvex fyrhörning har en inskriven cirkel om och endast om [6]

\tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2)).

Vidare är en konvex fyrhörning med sidorna a , b , c , d omskriven om och endast om

{\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d))

där Ra , R b , Rc , R d är radierna för cirklarna som externt tangerar sidorna a , b , c , d respektive förlängningarna av intilliggande sidor på varje sida [7] .

Några andra beskrivningar är kända för de fyra trianglarna som bildas av diagonalerna.

Specialsegment

De åtta tangentsegmenten i den omskrivna fyrhörningen är segmenten mellan hörnen och tangentpunkterna på sidorna. Varje vertex har två lika tangentsegment.

Kontaktpunkterna bildar en inskriven fyrhörning.

Område

Icke-trigonometriska formler

Arean K för en tangentfyrhörning ges av

S=r\cdot p

där p är halvperimetern och r är radien för den inskrivna cirkeln . En annan formel [8]

{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2))))

ger arean i termer av diagonalerna p , q och sidorna a , b , c , d på tangentfyrhörningen.

Arean kan också representeras i termer av tangentsegment (se ovan). Om de betecknas med e , f , g , h , så har tangentfyrhörningen area [1]

S={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)))

Dessutom kan arean av en tangentfyrhörning uttryckas i termer av sidorna a, b, c, d och motsvarande längder av tangentsegmenten e, f, g, h [9]

S={\sqrt {abcd-(t.ex.-fh)^{2))}.

Eftersom t.ex. = fh om och endast om det också är inskrivet, [10] får vi att den maximala arean endast kan nås på fyrhörningar som är både omskrivna och inskrivna samtidigt. ${\sqrt {abcd))$

Trigonometriska formler

Trigonometrisk formel för area i termer av sidorna a , b , c , d och två motsatta sidor [8] [11] [12] [13]

S={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

För en given produkt av sidor kommer arean att vara maximal när fyrhörningen också är en inskriven . I det här fallet eftersom motsatta vinklar är komplementära . Detta kan bevisas på ett annat sätt, med hjälp av matematisk analys [14] . $S={\sqrt {abcd))$

En annan formel för arean av den omskrivna fyrhörningen ABCD med två motsatta vinklar [12]

S=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin {\frac {A+C}{2))

där O är mitten av den inskrivna cirkeln.

Faktum är att området kan uttryckas i termer av endast två intilliggande sidor och två motsatta vinklar [8]

S=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

Det finns en annan formel [8]

S={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,

där θ är vinkeln (vilken som helst) mellan diagonalerna. Formeln gäller inte för deltoider, eftersom θ i detta fall är 90° och tangenten inte är definierad.

Ojämlikheter

Som nämnts i förbigående ovan, tillfredsställer arean av en tangentpolygon med sidorna a , b , c , d olikheten

S\leq {\sqrt {abcd))

och jämlikhet uppnås om och endast om fyrhörningen är bicentral .

Enligt T. A. Ivanova (1976) tillfredsställer halvperimetern p av den omskrivna fyrhörningen olikheten

p\geq 4r

där r är radien för den inskrivna cirkeln. Ojämlikhet förvandlas till likhet om och endast om fyrhörningen är en kvadrat . [15] Det betyder att för området S = pr är ojämlikheten

{\displaystyle S\geq 4r^{2))

med övergång till likhet om och endast om fyrhörningen är en kvadrat.

Egenskaper för delar av en fyrhörning

Fyra linjesegment mellan mitten av den inskrivna cirkeln och kontaktpunkterna delar upp fyrhörningen i fyra rektangulära deltoider .

Om en rät linje delar den beskrivna fyrhörningen i två polygoner med lika stora ytor och lika omkretsar , då går denna linje genom mitten [2] .

Radie av en inskriven cirkel

Radien för den inskrivna cirkeln av den omskrivna fyrhörningen med sidorna a , b , c , d ges av formeln [8]

r={\frac {S}{p}}={\frac {S}{a+c}}={\frac {S}{b+d}}

där S är arean av fyrhörningen och p är halvperimetern. För omskrivna fyrhörningar med en given halvperimeter är radien för den inskrivna cirkeln maximal när fyrhörningen också är en inskriven .

I termer av tangentsegment, radien för den inskrivna cirkeln [16] [17] .

\displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h))}.

Radien för den inskrivna cirkeln kan också uttryckas i termer av avståndet från centrum O till hörnen på den omskrivna fyrhörningen ABCD . Om u = AO , v = BO , x = CO och y = DO , då

r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy) (uy+vx)}}}

där [18] . $\sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)$

Formler för vinklar

Om e , f , g och h är segment av tangenter från hörnen A , B , C respektive D till cirkelns kontaktpunkter med fyrhörningen ABCD , då kan fyrhörningens vinklar beräknas med formlerna [1 ]

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)))} ,

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)))} ,

\sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)))) ,

\sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)))} .

Vinkeln mellan ackorden KM och LN ges av formeln [1] (se figur)

\sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+ h) )(h+e)}}}.

Diagonaler

Om e , f , g och h är segment av tangenter från A , B , C och D till kontaktpunkterna för den inskrivna cirkeln med fyrhörningen ABCD , då är längderna på diagonalerna p = AC och q = BD lika med [ 19]

\displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )))},

\displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )))}.

Touch Point ackord

Om e , f , g och h är segment från hörn till tangentpunkter, så är längderna av ackord till motsatta tangentpunkter [1]

\displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)))},

\displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}},

där ackordet k förbinder sidorna med längderna a = e + f och c = g + h , och ackordet l förbinder sidorna med längderna b = f + g och d = h + e . Kvadraten på förhållandet mellan ackord uppfyller förhållandet [1]

{\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.

Två ackord

är vinkelräta om och endast om fyrhörningen också är inskriven [20] .
ha samma längd om och endast om den omskrivna fyrhörningen är en deltoideus [21] .

Kordan mellan sidorna AB och CD i den omskrivna fyrhörningen ABCD är längre än kordan mellan sidorna BC och DA om och endast om mittlinjen mellan sidorna AB och CD är kortare än mittlinjen mellan sidorna BC och DA [22] .

Om den omskrivna fyrhörningen ABCD har tangentpunkter M på AB och N på CD och ackordet MN skär diagonalen BD i punkten P , då är förhållandet mellan tangenternas segment lika med förhållandet mellan segmenten i diagonalen BD . [23] ${\tfrac {BM}{DN}}$ ${\tfrac {BP}{DP}}$

Kolinjära punkter

Om M 1 och M 2 är mittpunkterna för diagonalerna AC respektive BD , i den omskrivna fyrhörningen ABCD med centrum av den inskrivna cirkeln O , och par av motsatta sidor skär varandra i punkterna E och F och M 3 är mittpunkten av segmentet EF , då ligger punkterna M 3 , M 1 , O , och M 2 på samma linje [24] Linjen som förbinder dessa punkter kallas fyrhörningens Newtonlinje .

Om förlängningarna av de motsatta sidorna av den beskrivna fyrhörningen skär varandra i punkterna E och F , och förlängningarna av de motsatta sidorna av fyrhörningen som bildas av kontaktpunkterna skär varandra vid punkterna T och S , då skär de fyra punkterna E , F , T och S ligger på samma räta linje [25]

Om den inskrivna cirkeln berör sidorna AB , BC , CD , DA vid punkterna M , K , N respektive L , och om TM , T K , TN , TL är isotomiskt konjugerade punkter för dessa punkter (det vill säga , AT M = BM och etc.), så definieras Nagelpunkten som skärningspunkten mellan linjerna T N T M och T K T L . Båda dessa linjer delar omkretsen av fyrhörningen i två lika delar. Men ännu viktigare är att Nagel-punkten Q , "områdets tyngdpunkt" G och mitten av den inskrivna cirkeln O ligger på samma räta linje, och QG = 2 GO . Denna linje kallas Nagel-linjen för den omskrivna fyrhörningen [26] .

I den omskrivna fyrhörningen ABCD med inskrivet cirkelcentrum O , där diagonalerna skär varandra i punkten P , låt HM , H K , H N , H L vara ortocentra för trianglarna AOB , BOC , COD respektive DOA . Då ligger punkterna P , H M , H K , H N och HL på samma räta linje . [12]

Konkurrenskraftiga och vinkelräta linjer

Två diagonaler av en fyrhörning och två ackord som förbinder motsatta kontaktpunkter (motsatta hörn på en inskriven fyrhörning) är sammanhängande (dvs. de skär varandra i en punkt). [13] För att visa detta kan man använda ett specialfall av Brianchons sats , som säger att en hexagon, vars alla sidor tangerar en konisk sektion , har tre diagonaler som skär varandra vid en punkt. Från den beskrivna fyrhörningen är det lätt att få en hexagon med två 180° vinklar genom att infoga två nya hörn i motsatta tangentpunkter. Alla sex sidorna av den resulterande hexagonen tangerar incirkeln, så att dess diagonaler skär varandra i en punkt. Men två diagonaler av hexagonen sammanfaller med diagonalerna på fyrhörningen, och den tredje diagonalen passerar genom de motsatta kontaktpunkterna. Genom att upprepa samma resonemang för de andra två beröringspunkterna får vi det önskade resultatet.

Om den inskrivna cirkeln berör sidorna AB , BC , CD och DA vid punkterna M , K , N , L , så är linjerna MK , LN och AC kompetitiva. [12]

Om förlängningarna av de motsatta sidorna av den omskrivna fyrhörningen skär i punkterna E och F , och diagonalerna skär varandra i punkten P , så är linjen EF vinkelrät mot förlängningen OP , där O är centrum för den inskrivna cirkeln [27] .

Egenskaper för den inskrivna cirkeln

Förhållandet mellan två motsatta sidor av den omskrivna fyrhörningen kan uttryckas i termer av avstånden från centrum av den inskrivna cirkeln O till motsvarande hörn [12]

{\frac {AB}{CD}}={\frac {OA\cdot OB}{OC\cdot OD)),\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac { OB\cdot OC}{OD\cdot OA}}.

Produkten av två intilliggande sidor av den omskrivna fyrhörningen ABCD med centrum av den inskrivna cirkeln O uppfyller förhållandet [28]

AB\cdot BC=OB^{2}+{\frac {OA\cdot OB\cdot OC}{OD)).

Om O är mitten av den inskrivna cirkeln av fyrhörningen ABCD , då [12]

OA\cdot OC+OB\cdot OD={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA)).

Mitten av den inskrivna cirkeln O sammanfaller med "centrumpunkten" av fyrhörningen om och endast om [12]

OA\cdot OC=OB\cdot OD.

Om M 1 och M 2 är mittpunkterna för diagonalerna AC respektive BD , då [12] [29]

{\frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={\frac {OA\cdot OC}{OB\cdot OD}}={\frac {e+g}{f+h} },

där e , f , g och h är segment av tangenter vid hörn A , B , C respektive D. Genom att kombinera den första likheten med den sista får vi att "centrumpunkten" för den omskrivna fyrhörningen sammanfaller med den inskrivna cirkelns centrum om och endast om centrum för den inskrivna cirkeln ligger mitt emellan diagonalernas mittpunkter.

Om fyrlänksmekanismen är gjord i form av en omskriven fyrhörning, förblir fyrhörningen omskriven oavsett dess deformation, förutsatt att fyrhörningen förblir konvex [30] [31] (till exempel när en kvadrat deformeras till en romb, fyrhörningen förblir omskriven, även om den inskrivna cirkeln blir mindre ). Om en sida är fixerad under deformation, då under deformation av fyrhörningen, rör sig mitten av den inskrivna cirkeln längs en cirkel med radie , där a,b,c,d är sidorna och s är halvperimetern. ${\sqrt {abcd}}/s$

Egenskaper för de fyra inre trianglarna

För icke-korsande trianglar APB , BPC , CPD , DPA , bildade av diagonalerna på en konvex fyrhörning ABCD , där diagonalerna skär varandra i punkt P , finns följande egenskaper.

Låt r 1 , r 2 , r 3 och r 4 vara incirkelradierna för trianglarna APB , BPC , CPD respektive DPA . Chao och Simeonov bevisade att en fyrhörning är omskriven om och endast om [32]

{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1 }{r_{4}}}.

Denna egenskap bevisades fem år tidigare av Weinstein [33] [34] . För att lösa sitt problem gavs en liknande egenskap av Vasiliev och Senderov. Om h M , h K , h N och h L betecknar höjderna av samma trianglar (släppta från skärningspunkten mellan diagonalerna P ), så beskrivs fyrhörningen om och endast om [6] [34]

{\frac {1}{h_{M}}}+{\frac {1}{h_{N}}}={\frac {1}{h_{K}}}+{\frac {1 }{h_{L}}}.

En annan liknande egenskap gäller för cirkelradierna r M , r K , r N och r L för samma fyra trianglar (de fyra excirklarna berör var sida om fyrhörningen och diagonalernas förlängningar). En fyrhörning är omskriven om och endast om [35]

{\frac {1}{r_{M}}}+{\frac {1}{r_{N}}}={\frac {1}{r_{K}}}+{\frac {1 }{r_{L}}}.

Om RM , R K , RN och R L är radierna för de omskrivna cirklarna av trianglarna APB , BPC , CPD respektive DPA , så är fyrhörningen ABCD omskriven om och endast om [36]

R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.

1996 verkar Weinstein ha varit den första att bevisa en annan anmärkningsvärd egenskap hos omskrivna fyrhörningar, som senare dök upp i flera tidskrifter och webbplatser [37] . Egenskapen anger att om en konvex fyrhörning är uppdelad i fyra icke-överlappande trianglar med sina diagonaler, ligger dessa trianglars incirkelcentrum på samma cirkel om och endast om fyrhörningen är en omskriven. I själva verket bildar de inskrivna cirklarnas mittpunkter en ortodiagonal inskriven fyrkant [38] . Här kan de inskrivna cirklarna ersättas med excirklar (tangenter mot sidorna och fortsättningarna av fyrhörningens diagonaler). Då omskrivs en konvex fyrhörning om och endast om excirkelernas mittpunkter är hörn på den inskrivna fyrhörningen [39] .

En konvex fyrhörning ABCD , där diagonalerna skär varandra i en punkt P , är omskriven om och endast om de fyra mittpunkterna i trianglarna APB , BPC , CPD och DPA ligger på samma cirkel [40] (här skär excirklarna sidorna av fyrhörningen, i motsats till liknande uttalande ovan, där cirklarna ligger utanför fyrhörningen). Om Rm , Rn, Rk och Rl är radierna för excirklarna APB , BPC , CPD respektive DPA , mittemot hörnen B och D , så är ett annat nödvändigt och tillräckligt villkor för att fyrhörningen ska omskrivas [ 41 ]

{\frac {1}{R_{m))}+{\frac {1}{R_{n))}={\frac {1}{R_{k))}+{\frac {1 }{R_{l}}}.

Vidare är en konvex fyrhörning där diagonalerna skär varandra i en punkt P omskriven om och endast om [6]

{\frac {m}{\triangle (APB)))+{\frac {n}{\triangle (CPD)))={\frac {k}{\triangle (BPC)))+{\ frac {l}{\triangle (DPA)))

där m , k , n , l är längderna på sidorna AB , BC , CD och DA , och ∆( APB ) är arean av triangeln APB .

Låt oss beteckna de segment i vilka punkten P delar diagonalen AC som AP = p a och PC = p c . På liknande sätt delar P diagonalen BD i segmenten BP = p b och PD = p d . Då är fyrhörningen omskriven om och endast om en av likheterna gäller: [42]

{\displaystyle mp_{c}p_{d}+np_{a}q_{b}=kp_{a}p_{d}+lp_{c}p_{b))

eller [38]

{\frac {(p_{a}+p_{b}-m)(p_{c}+p_{d}-n)}{(p_{a}+p_{b}+m)(p_ {c}+p_{d}+n)}}={\frac {(p_{c}+p_{b}-k)(p_{a}+p_{d}-l)}{(p_{c }+p_{b}+k)(p_{a}+p_{d}+l)}}

eller [43]

{\frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n) -p_{c}+p_{d})}}={\frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_ {c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.

Villkor för att den omskrivna fyrhörningen ska vara en annan typ av fyrhörning

Den beskrivna fyrhörningen är en romb om och endast om de motsatta vinklarna är lika [44] .

Om en incirkel tangerar sidorna AB , BC , CD , DA i punkterna M , K , N , L , så är ABCD också en inskriven fyrhörning om och endast om [20] [25]

ackord MN är vinkelrät mot KL
${\frac {AM}{MB}}={\frac {DN}{NC}}$
${\frac {AC}{BD}}={\frac {AM+CN}{BK+DL}}$

Det första påståendet av dessa tre betyder att tangensfyran MKNL är ortodiagonal .

En omskriven fyrhörning är bicentrisk (dvs omskriven och inskriven samtidigt) om och bara om radien för den inskrivna cirkeln är störst bland alla omskrivna fyrhörningar med samma sekvens av sidlängder [45] .

Den beskrivna fyrhörningen är en deltoid om och endast om något av följande villkor är uppfyllt: [46]

Ytan är hälften av produkten av diagonalerna
Diagonalerna är vinkelräta
Två linjesegment som förbinder motsatta kontaktpunkter är lika långa
Ett par motsatta segment från spetsen till kontaktpunkten har samma längd
Mittlinjerna är lika långa
Produkterna från motsatta sidor är lika
Mitten av den inskrivna cirkeln ligger på diagonalen, som är symmetriaxeln.

Se även

Omskriven cirkel
Extratangent fyrhörning
Beskriven trapetsform
Cirkel inskriven i en triangel

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 Josefsson, 2010a , sid. 119–130.
↑ 1 2 3 4 Andreescu, Enescu, 2006 , sid. 64–68.
↑ Geometri enligt Kiselev Arkiverad 1 mars 2021 på Wayback Machine , §146 .
↑ Josefsson, 2011b , sid. 65.
↑ Josefsson, 2011b , sid. 66.
↑ 1 2 3 Minculete, 2009 , sid. 113–118.
↑ Josefsson, 2012 , sid. 72.
↑ 1 2 3 4 5 Durell och Robson, 2003 , sid. 28–30.
↑ Josefsson, 2010a , sid. 128.
↑ Hajja, 2008 , sid. 103–106.
↑ Siddons, Hughes, 1929 , sid. 203.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Grinberg, Darij, Circumscribed quadrilaterals revisited , 2008 . Hämtad 1 april 2015. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd)
↑ 1 2 Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [1] (länk ej tillgänglig) , 1998, s. 156–157.
↑ Hoyt, 1986 , sid. 54–56.
↑ Inlägg på Art of Problem Solving , 2012 . Hämtad 1 april 2015. Arkiverad från originalet 20 februari 2014. (obestämd)
↑ Hajja, 2008 , sid. 103–106b Lemma2.
↑ Hoyt, 1984 , sid. 239, 242.
↑ Josefsson, 2010b , sid. 27–34.
↑ Hajja, 2008 , sid. Lemma3.
↑ 12 Josefsson , 2010a , sid. 124.
↑ Josefsson, 2011a , sid. 166.
↑ Josefsson, 2011c , sid. 162.
↑ Gutierrez, Antonio, "Circumscribed Quadrilateral, Diagonal, Chord, Proportion", [2] Arkiverad 2 april 2015 på Wayback Machine , tillgänglig 2012-04-09.
↑ Andreescu, Enescu, 2006 , sid. 42.
↑ 12 Josefsson, 2010c , sid. Kor.3.
↑ Myakishev, 2006 , sid. 289–295.
↑ Josefsson, 2010c , sid. Kor.4.
↑ "Ineq-G126 - Geometry - very nice!!!!", Post på Art of Problem Solving , 2011, [3]
↑ "Bestämma förhållandet OM/ON", Post på Art of Problem Solving , 2011
↑ Barton, 1926 , sid. 462–465.
↑ Bogomolny .
↑ Chao, Simeonov, 2000 , sid. 657–658.
↑ Josefsson, 2011a , sid. 169.
↑ 1 2 Weinstein, Vasiliev, Senderov, 1995 , sid. 27–28.
↑ Josefsson, 2011b , sid. 70.
↑ Josefsson, 2012b , sid. 23–24.
↑ Josefsson, 2011b , sid. 72-73.
↑ 12 Josefsson , 2011b , sid. 74.
↑ Josefsson, 2011b , sid. 73.
↑ Josefsson, 2011b , sid. 79.
↑ Josefsson, 2011b , sid. 80.
↑ Hoehn, 2011 , sid. 211–212.
↑ Josefsson, 2011b , sid. 77.
↑ DeVilliers, 2011 , sid. 102–107.
↑ Hess, 2014 , sid. 392-393.
↑ Josefsson, 2011a , sid. 165–174.

Länkar

Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Matematisk Olympiad Treasures. — Birkhauser, 2006.
Helen. På en cirkel fäst vid en hopfällbar fyrtakts // American Mathematical Monthly . - 1926. - T. 33 , nr. 9 . — .
Alexander Bogomolny. När en fyrhörning är inskrivbar? // Interactive Mathematics Diverse och pussel.
C.V. Durell, A. Robson. Avancerad trigonometri // Dover reprint. – 2003.
Victor Bryant, John Duncan. Hjul inom hjul // Mathematical Gazette . - 2010. - Utgåva. 94, nov.
Albrecht Hess. På en cirkel som innehåller centrum för tangentiella fyrhörningar // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14 .
Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. När fyrhörningar har inskrivna cirklar (lösning på problem 10698) // American Mathematical Monthly . - 2000. - T. 107 , nr. 7 . - doi : 10.2307/2589133 .
Mowaffaq Hajja. Ett villkor för att en omskrivbar fyrhörning ska vara cyklisk // Forum Geometricorum. - 2008. - T. 8 .

Larry Hoehn. En ny formel som rör diagonalerna och sidorna av en fyrhörning. - 2011. - T. 11 .

John P. Hoyt. Quickies, Q694 // Mathematics Magazine . - 1984. - T. 57 , nr. 4 .
John P. Hoyt. Maximera arean av ett trapez // American Mathematical Monthly . - 1986. - T. 93 , nr. 1 . - doi : 10.2307/2322549 .

Martin Josefsson. Beräkningar angående tangentlängder och tangenskorder för en tangentiell fyrhörning // Forum Geometricorum. — 2010a. - T. 10 .

Martin Josefsson. På inradiusen av en tangentiell fyrhörning // Forum Geometricorum. — 2010b. - T. 10 .

Martin Josefsson. Karakteriseringar av bicentriska fyrhörningar // Forum Geometricorum. — 2010c. - T. 10 .
Martin Josefsson. När är en Tangential Quadrilateral en drake? // Forum Geometricorum. — 2011a. - T. 11 .
Martin Josefsson. Fler karaktäriseringar av Tangentiala fyrhörningar // Forum Geometricorum. — 2011b. - T. 11 .
Martin Josefsson. Området för en bicentrisk fyrhörning // Forum Geometricorum. — 2011c. - T. 11 .
Martin Josefsson. Liknande metriska karakteriseringar av Tangentiala och Extangentiala fyrhörningar // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 .
Martin Josefsson. Karakteriseringar av ortodiagonala fyrhörningar. — 2012b. - T. 12 .
Nicusor Minculet. Karakteriseringar av en Tangential fyrhörning // Forum Geometricorum. - 2009. - T. 9 .
Alexey Myakishev. På två anmärkningsvärda linjer relaterade till en fyrhörning // Forum Geometricorum. - 2006. - T. 6 .
A.W. Siddons, R.T. Hughes. trigonometri. — Cambridge Univ. Press, 1929.
I. Weinstein, N. Vasiliev, V. Senderov. (Problemlösning) M1495 // Kvant. - 1995. - Utgåva. 6 .
Michael De Villiers. Likkantiga cykliska och liksidiga omskrivna polygoner // Mathematical Gazette . - 2011. - Utgåva. 95, mars .

Externa länkar

Weisstein, Eric W. Tangential Quadrilateral (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Polygoner

Efter antal sidor

Monogon
Bigon
Triangel
Fyrsidig
Pentagon
Sexhörning
Heptagon
Oktogon
femhörning
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretton
tetradekagon
Pentagon
Sexhörning
Sjutton
oktogon
Nittonagon
Dodecagon
Tjugoensidig
Twenty-two-angle
Twentytrigon
Tjugofyrkantig
Tjugo femhörning
Tjugooktagon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrtio kvadratisk
Forty Bicagon
Pentecostal
Pentecostal
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ sv
Millagon
Tiotusen-gon
Hundratusendel
Milliogon
oändlighet

Korrekt

konvex	Triangel Fyrkant Pentagon Sexhörning Heptagon Oktogon femhörning tetradekagon Sjutton 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stellate	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trianglar

Fyrhörningar

se även