Semiperimeter

En polygons halvomkrets är hälften av dess omkrets . Även om halvperimetern är en mycket enkel derivata av omkretsen, förekommer den så ofta i formler för trianglar och andra geometriska figurer att den har fått ett separat namn. Om semiperimetern förekommer i någon formel, betecknas den vanligtvis med bokstaven p .

Trianglar

Semiperimetern används oftast för trianglar. Semiperimeterformel för en triangel med sidorna a , b och c

p={\frac {a+b+c}{2)).

Egenskaper

I vilken triangel som helst delar spetsen och tangentpunkten på excirkeln på motsatt sida triangelns omkrets i två lika delar, det vill säga i två banor, som var och en är en halv omkrets lång. Figuren visar sidorna A, B, C och kontaktpunkterna A', B', C' , sedan

$p=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|$

=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.

Tre segment som förbinder hörn med motsatta beröringspunkter skär varandra vid en punkt - Nagel-punkten .

Om vi betraktar segmenten som förbinder sidornas mittpunkter med punkter åtskilda (längs sidorna) från denna mittpunkt med en halv omkrets, då skär dessa segment i en punkt - mitten av Spiekers cirkel , som är en cirkel inskriven i medianen triangel . Spiekers centrum är tyngdpunkten för triangelns sidor.

En rät linje som går genom mitten av den inskrivna cirkeln i en triangel halverar omkretsen om och bara om den delar området.

En triangels halvperimeter är lika med omkretsen av dess mediantriangel .

Triangelolikheten innebär att längden på den längsta sidan av en triangel inte överstiger halva omkretsen.

Formler med semiperimeter

Arean K för en triangel är produkten av radien av dess incirkel och halvperimetern:

K=pr.

Arean av en triangel kan beräknas baserat på dess halvomkrets och längderna på sidorna a, b, c med hjälp av Herons formel :

K={\sqrt {p\left(pa\right)\left(pb\right)\left(pc\right)))

Radien för den omskrivna cirkeln R i en triangel kan också beräknas från dess halvomkrets och längderna på sidorna:

R={\frac {abc}{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))))))

Denna formel kan härledas från sinussatsen .

Radien för den inskrivna cirkeln är

r={\sqrt {\frac {(pa)(pb)(pc)}{p))}.

Cotangenssatsen ger cotangenserna för halva vinklarna vid hörnen av en triangel i termer av halvperimetern, sidorna och incirkelradien.

Längden på halveringslinjen för den inre vinkeln motsatt sida a är [1]

t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(pa)))}{b+c)).

I en rätvinklig triangel är radien för excirkeln vid hypotenusan halva omkretsen. Halvperimetern är lika med summan av radien för den inskrivna cirkeln och två gånger radien för den omslutna cirkeln. Arean av en rätvinklig triangel är , där a och b är ben. $(pa)(pb)$

Quadrangles

Formel för halvperimetern av en fyrhörning med sidorna a , b , c och d

p={\frac {a+b+c+d}{2)).

En av formlerna för trianglar, med hjälp av en halvomkrets, gäller också för de omskrivna fyrhörningarna , som har en inskriven cirkel och summan av längderna på motsatta sidor av vilka är lika med halvomkretsen. Detta är nämligen formeln för arean av en figur:

K=pr.

Den enklaste formen av Brahmaguptas formel för arean av en fyrhörning inskriven i en cirkel liknar Herons formel för arean av en triangel:

K={\sqrt {\left(pa\right)\left(pb\right)\left(pc\right)\left(pd\right)))

Bretschneider-relationen generaliserar formeln för alla konvexa fyrhörningar:

K={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2))\right )}},

där och är två motsatta vinklar. $\alfa$ $\gamma$

De fyra sidorna av den bicentrala fyrhörningen är de fyra lösningarna av en fjärdegradsekvation vars parametrar är halvperimetern, radien för den inskrivna cirkeln och radien för den omslutna cirkeln.

Regelbundna polygoner

Arean av en konvex regelbunden polygon är lika med produkten av dess halvomkrets och avståndet från mitten till en av sidorna.

Anteckningar

↑ Johnson, 2007 , sid. 70.

Litteratur

Roger A. Johnson. Avancerad euklidisk geometri. - Dover Publ., 2007. (Återtryck av 1929 års bok)

Länkar

Weisstein, Eric W. Semiperimeter (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .