Sinussats

Sinussatsen är en sats som fastställer sambandet mellan längderna på sidorna i en triangel och storleken på vinklarna mitt emot dem . Det finns två versioner av satsen; det vanliga sinussatsen :

Sidorna i en triangel är proportionella mot sinusen i de motsatta vinklarna.

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

och den utökade sinussatsen :

För en godtycklig triangel

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,

där , , är triangelns sidor, är vinklarna motstående respektive, och är radien på cirkeln som omger triangeln. $a$ $b$ $c$ $\alfa ,\beta ,\gamma$ $R$

Bevis

Bevis på den vanliga sinussatsen

Vi använder bara definitionen av triangelns höjd, sänkt till sidan b , och sinus för två vinklar: $h_b$

h_b=a \sin \gamma= c \sin \alfa

. Därför, , som skulle bevisas. Genom att upprepa samma resonemang för de andra två sidorna av triangeln får vi den slutliga versionen av den vanliga sinussatsen. ∎

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}

Bevis på den utökade sinussatsen

Bevis

Det räcker för att bevisa det

{\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.

Rita en diameter för den omskrivna cirkeln. Enligt egenskapen för vinklar inskrivna i en cirkel, är vinkeln rät, och vinkeln är lika antingen om punkterna och ligger på samma sida av linjen eller på annat sätt. Eftersom , i båda fallen får vi $|BG|$ $GCB$ $CGB$ $\alfa$ $A$ $G$ $före Kristus$ $\pi-\alfa$ $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$

a=2R\sin\alfa

Om vi upprepar samma resonemang för de andra två sidorna av triangeln får vi:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.

∎ Bevis genom formler för att hitta arean av en triangel

Låt oss ta två formler för att hitta arean av en triangel och $S={\frac {abc}{4R))$ $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .$

${\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\ frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow { \begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}= \sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2R={\frac {c}{\sin \gamma }}\\2R={\frac {b}{\sin \beta }} \\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}\Leftrightarrow 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta ))={\frac {c}{\sin \gamma ))$ ∎

Variationer och generaliseringar

I en triangel ligger den större sidan mitt emot den större vinkeln och den större vinkeln ligger mittemot den större sidan.

I simplexen

V_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}} }{V_{n-2}^{i,j}}}\cdot \sin {A_{i,j}},

var är vinkeln mellan ytorna och ; är ett vanligt ansikte och ; är volymen av simplexen. ${\displaystyle A_{i,j))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{i))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{j))$ $V_{n-2}^{i,j}$ ${\displaystyle V_{n-1}^{i))$ ${\displaystyle V_{n-1}^{j))$ $V_{n}$

Historik

I det första kapitlet av Almagest (cirka 140 e.Kr.) används sinussatsen, men den anges inte explicit [1] .
Det äldsta beviset på sinussatsen på planet som har kommit ner till oss beskrivs i boken av Nasir ad-Din At-Tusi "Treatise on the complete quadrilateral" skriven på XIII-talet [2] .
Sinussatsen för en sfärisk triangel bevisades av matematiker från det medeltida östern redan på 900-talet [3] . Al-Jayanis 1000- talsverk "The Book of Unknown Arcs of the Sphere" gav ett allmänt bevis på sinussatsen om sfären [4] .

Variationer och generaliseringar

Sfärisk sinussats
På Lobachevsky-planet med krökning tar sinussatsen följande form: $-ett$ ${\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C }{\mathrm {sh} \,c}}.$

Anteckningar

↑ Florian Cajori. A History of Mathematics (engelska) . — 5:e upplagan. - 1991. - S. 47.
↑ Berggren, J. Lennart. Matematik i medeltida islam // Matematik i Egypten, Mesopotamien, Kina, Indien och Islam: En källbok . - Princeton University Press , 2007. - P. 518. - ISBN 9780691114859 .
↑ Sesiano listar precis al-Wafa som en bidragsgivare. Sesiano, Jacques (2000). "Islamisk matematik", s. 137. — Sida 157, i Selin, Helaine & D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics , Springer , ISBN 1402002602
↑ Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani . Hämtad 24 augusti 2011. Arkiverad från originalet 29 maj 2016. (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Litauisk universal Britannica (online)

Triangel
Typer av trianglar	Rektangulär Likbent Liksidig Likbent rektangulär
Underbara linjer i en triangel	Median Höjd Bisektris Mittvinkelrät mittlinje Omskrivna och inskrivna cirklar Simsons raka linje Euler linje Simediana Cheviana
Anmärkningsvärda punkter i triangeln	Ortocenter Centroid I mitten Brocard punkt Vecten punkt Peka Gergonne Lemoine punkt Miquel pekar Nagel poäng Napoleon pekar Torricellis punkter Niopunkts cirkelcentrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centers
Grundläggande satser	triangelojämlikhet Tecken på likhet av trianglar Lösa trianglar Triangelns yttre vinkelsats Triangelsummans sats Pythagoras sats Cosinussats Sinussats Projektionssatsen Herons formel
Ytterligare satser	Van Obels teorem Menelaos sats Reuschles (Terkema) sats Stewarts teorem Tangentsats Cotangenssats Cevas sats Mollweide formler
Generaliseringar	sfärisk triangel hyperbolisk triangel Simplex

Trigonometri
Allmän	Trigonometri översikt Berättelse Användande Funktioner Omvänd Sällan använd Generaliserad trigonometri
Katalog	Identiteter Exakta konstanter tabeller enhetscirkel
Lagar och satser	Sinussats Pythagoras sats Cosinussats Tangentsats Cotangenssats Lösa trianglar
Matematisk analys	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvända funktioner ) Derivat