Stewarts teorem

Stewarts sats är en metrisk sats inom euklidisk planimetri .

Hon säger att om en punkt ligger på en sida av en triangel , då $D$ $före Kristus$ $ABC$

AD^{2}=p^{2}=b^{2}{\frac {x}{a}}+c^{2}{\frac {y}{a}}-{xy} ,

där , och (Fig. 1). Segment AD kallas ceviana av triangel ABC . $y=CD$ $x=BD$ $a=x+y=BC$

Bevis

Genom produkten av vektorer

Ett av bevisen för satsen är baserat på tillämpningen av vektoralgebra och i synnerhet egenskaperna hos den inre produkten [1] . Låt oss representera en vektor vars längd önskas, på två sätt: ${\overrightarrow {AD)),$

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}},\quad {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CD }} }}.

Multiplicera den första ekvationen med längden och den andra med $CD$ $BD\colon$

{\overrightarrow {AD}}\cdot CD={\overrightarrow {AB}}\cdot CD+{\overrightarrow {BD}}\cdot CD,

{\overrightarrow {AD}}\cdot BD={\overrightarrow {AC}}\cdot BD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD.

Låt oss nu lägga till de resulterande ekvationerna:

{\overrightarrow {AD}}\cdot BC=({\overrightarrow {AB}}\cdot CD~{\color {Röd}+~{\overrightarrow {BD}}\cdot CD})+({\ högerpil {AC}}\cdot BD~{\color {Röd}+~{\overrightarrow {CD}}\cdot BD}),

där sedan och har lika långa och är motsatta. Därför är vektorn själv ${\overrightarrow {BD}}\cdot CD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD=0,$ ${\overrightarrow {BD}}\cdot CD$ ${\overrightarrow {CD}}\cdot BD$ ${\overrightarrow {AD}}$

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}{\frac {CD}{BC}}+{\overrightarrow {AC}}{\frac {BD}{BC}}.

Dess längd kan erhållas med hjälp av den skalära produkten av en vektor med sig själv: ${\overrightarrow {AD}}$

\left({\overrightarrow {AD}}\right)^{2}=\left({\overrightarrow {AB}}\right)^{2}\left({\frac {CD}{BC} }\right)^{2}+\left({\overrightarrow {AC}}\right)^{2}\left({\frac {BD}{BC}}\right)^{2}+{\color {Grön}2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}\cdot {\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}}.

Vidare, för att uttrycka i termer av längder, måste vi hitta $2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}$ $({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})^{2}\colon$

{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}},

BC^{2}=AC^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+AB^{2},

2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}.

Av detta visar det sig äntligen att

AD^{2}=AB^{2}{\frac {CD^{2}}{BC^{2}}}+AC^{2}{\frac {BD^{2}}{BC ^{2}}}+({\color {Grön}AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}){\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD }{FÖRE KRISTUS}},

$AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-CD\cdot BD.$

Genom cosinussatsen

Vi uttrycker AB och AC i termer av de återstående sidorna av trianglarna ABC och ACD och i termer av vinklarna och intill varandra: $\angle ADB$ $\angle ADC,$

AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB,

{\begin{alignedat}{2}AC^{2}&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Green}-}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{ \color {Grön}C}=\\&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Grön}+}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Grön}B} .\\\end{aligned}}

Multiplicera den första ekvationen med och den andra med $DC$ $BD\colon$

{\begin{cases}AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB,\\AC^{2} BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB,\end{cases}}

För att bli av med cosinus för vinkel ABD lägger vi till dessa likheter:

AB^{2}DC+AC^{2}BD=(BD^{2}DC+AD^{2}DC)+(AD^{2}BD+DC^{2}BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD=AD^{2}(DC+BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^{2}(DC+BD),

$AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-BD\cdot CD=AD^{2}.$

Historik

Satsen är uppkallad efter den engelske matematikern M. Stewart, som bevisade den och publicerade den i verket Some General Theorems (1746, Edinburgh). Teoremet rapporterades till Stuart av hans lärare R. Simson , som publicerade denna teorem först 1749.

Applikation

Satsen kan användas för att hitta medianer och bisektorer av trianglar, och ett specialfall av Stewarts sats, när ceviana urartar till median , är Apollonius sats .
En konsekvens av Stewarts sats är också Ptolemaios sats .[ klara upp ]

Generalisering

Stewarts sats är generaliserad till Bretschneiders likhet för en fyrkant: om en vertex av fyrkanten faller på sidan av fyrkanten, så följer Stewarts sats från Bretschneiders sats .

Anteckningar

↑ Pogorelov A. V. Geometri. - M . : Nauka , 1983. - S. 30-31. — 288 sid.

Litteratur

L.S. Atanasyan , V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, I.I. Yudina Geometri. Ytterligare kapitel för läroboken årskurs 9. 4:e uppl. Förlaget Vita-Press, 2004. s. 53.
V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak , S. A. Shestakov , I. I. Yudina Geometri. En manual för fördjupning i matematik. Förlag FIZMATLIT, 2005. 488 sid. sid. 302-303.
Manturov O. V. , Solntsev Yu. K. Explanatory Dictionary of Mathematical Terms. En guide för lärare. Under redaktion av Ditkin V. A. M .: Education, 1965. 540 sid.
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0 .