Euklidisk geometri

Euklidisk geometri (eller elementär geometri ) är en geometrisk teori baserad på ett system av axiom , som först fastställdes i Euklids element ( 3 : e århundradet f.Kr. ).

Grundläggande information

Elementär geometri  är en geometri som huvudsakligen definieras av en förskjutningsgrupp ( isometri ) och en likhetsgrupp . Emellertid är innehållet i elementär geometri inte uttömt av de angivna transformationerna. Elementär geometri inkluderar också inversionstransformation , frågor om sfärisk geometri , element i geometriska konstruktioner , teorin om mätning av geometriska storheter och andra frågor.

Elementär geometri kallas ofta euklidisk geometri , eftersom dess ursprungliga och systematiska presentation, även om den inte var rigorös nog, fanns i Euklids beståndsdelar . Den första rigorösa axiomatik av elementär geometri gavs av Hilbert . Grundläggande geometri studeras i gymnasieskolan.

Axiomatics

Uppgiften att axiomatisera elementär geometri består i att konstruera ett system av axiom så att alla uttalanden om euklidisk geometri följer från dessa axiom genom en rent logisk deduktion utan visualisering av ritningar.

I Euklids "Element" gavs ett system av axiom , på vilket all euklidisk geometri är baserad:

1. En rät linje kan dras från vilken punkt som helst till vilken punkt som helst.
2. En avgränsad linje kan förlängas kontinuerligt längs en rät linje.
3. En cirkel kan beskrivas från vilket centrum som helst med vilken radie som helst.
4. Alla räta vinklar är lika med varandra.
5. Om en linje som skär två linjer bildar inre ensidiga vinklar som är mindre än två räta vinklar, så kommer dessa två linjer att mötas på den sida där vinklarna är mindre än två räta vinklar.

Detta system var tillräckligt för att en matematiker skulle förstå en annan, men andra intuitivt uppenbara påståenden användes också implicit i bevisen, i synnerhet den så kallade Pasch-satsen , som inte kan härledas från Euklids postulat.

År 1899 föreslog Hilbert den första tillräckligt rigorösa axiomatiken av euklidisk geometri . Före Gilbert gjordes försök att förbättra den euklidiska axiomatiken av Pasch , Schur , Peano , Veronese , men Hilberts tillvägagångssätt, trots all hans konservatism i valet av begrepp, visade sig vara mer framgångsrik.

Det finns andra moderna axiomatik, de mest kända är:

• Alexandrovs axiomatik ;
• Birkhoffs axiomatik , som endast innehåller 4 axiom, men använder reella tal som ett färdigt begrepp;
• Tarskis axiomatik .

Notationssystem

Det finns flera konkurrerande notationssystem.

• Punkter betecknas vanligtvis med stora latinska bokstäver .
• Raka linjer betecknas vanligtvis med små latinska bokstäver .
• Avståndet mellan punkterna och betecknas vanligtvis med eller .
• Segmentet mellan punkterna och betecknas vanligtvis med eller .
• En stråle från en punkt genom en punkt betecknas vanligtvis med eller .
• Linjen genom punkterna och betecknas vanligtvis med eller .
• En triangel med hörn , och betecknas vanligtvis med eller .
• Arean av en figur betecknas vanligtvis med eller .
• Vinkeln som bildas av strålarna och betecknas vanligtvis med .
• Storleken på vinkeln anges vanligtvis .
  • I det här fallet, för korthets skull, betecknas vinkelns storlek ofta med en grekisk liten bokstav

Se även

• Axiomsystem
  • Alexandrovs axiomatik
  • Birkhoffs axiom
  • Hilberts axiomatik
• Lobachevskys geometri
• Riemann geometri
• Icke-euklidisk geometri
• Analytisk geometri

Anteckningar

Litteratur

• D. Hilbert Geometrins grunder. Översättning från tyska, redigerad av A. V. Vasiliev. - L . : "Såmannen", 1923. - 152 sid.
• Hadamard J. Elementär geometri. - Del 1. - M . : Uchpedgiz, 1948; Del 2. - M . : Uchpedgiz, 1951.
• Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : " Sovjetisk uppslagsverk ", 1988.
• Obukhova AI Historia om elementär geometri .
• Euklidisk geometri // Stora sovjetiska encyklopedin  : [i 30 volymer]  / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M .  : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.