Matematisk modell

En matematisk modell  är en matematisk representation av verkligheten [1] , en av varianterna av en modell som ett system , vars studie gör det möjligt att få information om något annat system. En matematisk modell, i synnerhet, är avsedd att förutsäga beteendet hos ett verkligt objekt, men representerar alltid en eller annan grad av dess idealisering [B: 1] .

Matematisk modellering kallas både själva aktiviteten och helheten av vedertagna metoder och tekniker för att konstruera och studera matematiska modeller.

Alla natur- och samhällsvetenskaper som använder den matematiska apparaten är faktiskt engagerade i matematisk modellering: de ersätter studieobjektet med dess matematiska modell och studerar sedan den senare. Med hjälp av matematiska metoder beskrivs i regel ett idealt objekt eller en idealisk process, byggd i stadiet av meningsfull modellering . Kopplingen av en matematisk modell till verkligheten sker med hjälp av en kedja av empiriska lagar , hypoteser , idealiseringar och förenklingar.

Definitioner

En matematisk modell  är en ungefärlig beskrivning av någon klass av fenomen i den yttre världen, uttryckt i matematiska symboler. [B:2]

Enligt Lyapunov är matematisk modellering en indirekt praktisk eller teoretisk studie av ett föremål, där inte föremålet av intresse för oss direkt studeras, utan något konstgjort eller naturligt hjälpsystem (modell) som är i någon objektiv överensstämmelse med föremålet som är känd, kapabel att ersätta den i vissa avseenden och under sin studie i slutändan ge information om själva det modellerade objektet [B: 3] .

I andra versioner definieras den matematiska modellen som en objektsersättning för det ursprungliga objektet, vilket ger studiet av vissa egenskaper hos originalet [B: 4] , som "en" motsvarighet "till objektet, vilket i matematisk form återspeglar dess mest viktiga egenskaper - de lagar som den lyder, sambanden inneboende dess beståndsdelar" [B: 5] , som ett system av ekvationer, eller aritmetiska relationer, eller geometriska figurer, eller en kombination av båda, som studeras med hjälp av matematik bör svara på frågorna som ställs om egenskaperna hos en viss uppsättning egenskaper hos ett verklig världsobjekt [B: 6] , som en uppsättning matematiska samband, ekvationer, ojämlikheter som beskriver de huvudsakliga mönstren som är inneboende i processen, objektet eller systemet under studie [B: 7] .

I automatiserade styrsystem används en matematisk modell för att bestämma styrenhetens operationsalgoritm. Denna algoritm bestämmer hur kontrollåtgärden ska ändras beroende på ändringen i mastern för att uppnå kontrollmålet. [B:8]

Ingen definition kan helt täcka den verkliga aktiviteten av matematisk modellering. Trots detta är definitioner användbara eftersom de försöker lyfta fram de viktigaste egenskaperna.

Universalitet av modeller

De viktigaste matematiska modellerna har vanligtvis en viktig egenskap av universalitet : fundamentalt olika verkliga fenomen kan beskrivas av samma matematiska modell. Till exempel beskriver en harmonisk oscillator inte bara beteendet hos en belastning på en fjäder, utan också andra oscillerande processer, ofta av en helt annan karaktär: små oscillationer av en pendel, fluktuationer i vätskenivån i ett -format kärl, eller en förändring i strömstyrkan i en oscillerande krets. När vi studerar en matematisk modell studerar vi på en gång en hel klass av fenomen som beskrivs av den. Det är denna isomorfism av de lagar som uttrycks av matematiska modeller i olika segment av vetenskaplig kunskap som ledde till att Ludwig von Bertalanffy skapade en " allmän systemteori ".

Samtidigt bör man komma ihåg att själva modellen är ett objekt och kan ha några av sina egna egenskaper som inte är relaterade till det verkliga objektet som modelleras; men det finns publikationer även i välrenommerade tidskrifter, där exakt de egenskaper hos komplexa matematiska modeller studeras som inte är relaterade till objektet som modelleras. [B:9]

Klassificering av modeller

Formell klassificering av modeller

Den formella klassificeringen av modeller baseras på klassificeringen av de matematiska verktyg som används. Byggs ofta i form av dikotomier . Till exempel, en av de populära uppsättningarna av dikotomier [2] :

och så vidare. Varje konstruerad modell är linjär eller icke-linjär, deterministisk eller stokastisk, ... Naturligtvis är blandade typer också möjliga: koncentrerade i ett avseende (i termer av parametrar), distribuerade modeller i ett annat, etc.

Klassificering enligt hur objektet representeras

Tillsammans med den formella klassificeringen skiljer sig modellerna åt i hur de representerar objektet:

Strukturella modeller representerar ett objekt som ett system med sin egen enhet och fungerande mekanism. Funktionella modeller använder inte sådana representationer och återspeglar endast det externt upplevda beteendet (funktionen) hos objektet. I sitt extrema uttryck kallas de även för "black box" -modeller . [6] Kombinerade typer av modeller är också möjliga, ibland kallade " grå box "-modeller.

Meningsfulla och formella modeller

Nästan alla författare som beskriver processen för matematisk modellering indikerar att först byggs en speciell idealkonstruktion, en meningsfull modell [7] . Det finns ingen etablerad terminologi här, och andra författare kallar detta idealobjekt för en konceptuell modell [8] , en spekulativ modell [B: 10] [9] eller en förmodell [10] . I detta fall kallas den slutliga matematiska konstruktionen en formell modell eller helt enkelt en matematisk modell som erhålls som ett resultat av formaliseringen av denna innehållsmodell (förmodell). En meningsfull modell kan byggas med hjälp av en uppsättning färdiga idealiseringar, som i mekanik, där ideala fjädrar, stela kroppar, ideala pendlar, elastiska medier etc. tillhandahåller färdiga strukturella element för meningsfull modellering. Men inom kunskapsområden där det inte finns några fullständigt genomförda formaliserade teorier (den framkant av fysik , biologi , ekonomi , sociologi , psykologi och de flesta andra områden), blir skapandet av meningsfulla modeller mycket mer komplicerat.

Meningsfull klassificering av modeller

Peierls [11] ger en klassificering av matematiska modeller som används inom fysiken och, mer allmänt, inom naturvetenskapen. I boken av A. N. Gorban och R. G. Khlebopros [12] analyseras och utökas denna klassificering. Denna klassificering är främst inriktad på stadiet för att konstruera en meningsfull modell.

Hypotes

Modeller av den första typen - hypoteser ( "detta kan vara" ) "representerar en försöksbeskrivning av fenomenet, och författaren tror antingen på dess möjlighet eller anser att det till och med är sant." Enligt Peierls är dessa till exempel Ptolemaios-modellen av solsystemet och Copernican - modellen (förbättrad av Kepler ), Rutherfords modell av atomen och Big Bang- modellen .

Modellhypoteser inom vetenskapen kan inte bevisas en gång för alla, man kan bara tala om deras vederläggning eller icke vederläggning som ett resultat av experimentet [13] .

Om en modell av den första typen byggs, betyder det att den tillfälligt erkänns som sann och man kan koncentrera sig på andra problem. Detta kan dock inte vara en poäng i forskningen, utan bara en tillfällig paus: statusen för modellen av den första typen kan bara vara tillfällig.

Fenomenologisk modell

Den andra typen, den fenomenologiska modellen ( "vi beter oss som om..." ) innehåller en mekanism för att beskriva fenomenet, även om denna mekanism inte är tillräckligt övertygande, inte kan bekräftas tillräckligt av tillgängliga data eller är dåligt förenlig med tillgängliga teorier. och samlad kunskap om föremålet. Därför har fenomenologiska modeller status som tillfälliga lösningar. Man tror att svaret fortfarande är okänt, och sökandet efter "sanna mekanismer" måste fortsätta. Peierls hänvisar till exempel kalorimodellen och kvarkmodellen av elementarpartiklar till den andra typen.

Modellens roll i forskningen kan förändras över tid, det kan hända att nya data och teorier bekräftar fenomenologiska modeller och de befordras till status som en hypotes. På samma sätt kan ny kunskap gradvis komma i konflikt med modeller-hypoteser av den första typen, och de kan överföras till den andra. Sålunda går kvarkmodellen gradvis in i kategorin hypoteser; atomism i fysiken uppstod som en tillfällig lösning, men med historiens gång övergick den till den första typen. Men etermodellerna har gått från typ 1 till typ 2, och nu är de utanför vetenskapen.

Idén med förenkling är mycket populär när man bygger modeller. Men förenkling är annorlunda. Peierls urskiljer tre typer av förenklingar i modellering.

Approximation

Den tredje typen av modeller är approximationer ( "vi anser att något är mycket stort eller mycket litet" ). Om det är möjligt att konstruera ekvationer som beskriver systemet som studeras, betyder det inte att de kan lösas ens med hjälp av en dator. En vanlig teknik i detta fall är användningen av approximationer (modeller av typ 3). Bland dem finns linjära svarsmodeller . Ekvationerna ersätts av linjära. Standardexemplet är Ohms lag .

Om vi ​​använder den ideala gasmodellen för att beskriva tillräckligt förtärnade gaser, så är detta en typ 3-modell (approximation). Vid högre gasdensiteter är det också användbart att föreställa sig en enklare idealgassituation för kvalitativ förståelse och utvärdering, men då är det redan typ 4.

Förenkling

Den fjärde typen är förenkling ( "vi utelämnar några detaljer för tydlighetens skull" ), i denna typ kasseras detaljer som kan märkbart och inte alltid kontrollerbart påverka resultatet. Samma ekvationer kan fungera som en modell av typ 3 (approximation) eller typ 4 (som utelämnar några detaljer för tydlighetens skull), beroende på vilket fenomen modellen används för att studera. Så om linjära svarsmodeller används i avsaknad av mer komplexa modeller (det vill säga icke-linjära ekvationer är inte linjäriserade, utan linjära ekvationer som beskriver objektet söks helt enkelt), då är dessa redan fenomenologiska linjära modeller , och de tillhör följande typ 4 (alla icke-linjära detaljer " utelämnas för tydlighetens skull).

Exempel: tillämpning av en ideal gasmodell på en icke-ideal, van der Waals tillståndsekvation , de flesta modeller av fast tillstånd , flytande och kärnfysik . Vägen från en mikrobeskrivning till egenskaperna hos kroppar (eller media) som består av ett stort antal partiklar är mycket lång. Många detaljer måste utelämnas. Detta leder till modeller av den fjärde typen.

Heuristisk modell

Den femte typen är en heuristisk modell ( "det finns ingen kvantitativ bekräftelse, men modellen bidrar till en djupare insikt i sakens väsen" ), en sådan modell behåller endast en kvalitativ likhet med verkligheten och ger endast förutsägelser "i ordningsföljd av magnitud". Ett typiskt exempel är den genomsnittliga fria vägapproximationen i kinetisk teori . Den ger enkla formler för koefficienterna för viskositet , diffusion , värmeledningsförmåga , i överensstämmelse med verkligheten i storleksordning.

Men när man bygger en ny fysik får man långt ifrån omedelbart en modell som ger åtminstone en kvalitativ beskrivning av objektet - en modell av den femte typen. I det här fallet används en modell ofta i analogi , som återspeglar verkligheten åtminstone på något sätt.

Analogi

Den sjätte typen är en analogimodell ( "låt oss bara ta hänsyn till vissa funktioner" ). Peierls ger en historia av användningen av analogier i Heisenbergs första papper om kärnkraftens natur [14] .

Tankeexperiment

Den sjunde typen av modell är tankeexperimentet ( "det viktigaste är att motbevisa möjligheten" ). Denna typ av simulering användes ofta av Einstein, i synnerhet ledde ett av dessa experiment till konstruktionen av den speciella relativitetsteorin . Antag att vi i klassisk fysik följer en ljusvåg med ljusets hastighet. Vi kommer att observera ett elektromagnetiskt fält som periodiskt förändras i rymden och konstant i tiden . Enligt Maxwells ekvationer kan detta inte vara så. Härifrån drog Einstein slutsatsen: antingen ändras naturlagarna när referensramen ändras, eller så beror ljusets hastighet inte på referensramen , och valde det andra alternativet.

Demonstration av möjligheten

Den åttonde typen är en demonstration av möjligheten ( "det viktigaste är att visa möjlighetens interna överensstämmelse" ), sådana modeller är också tankeexperiment med imaginära enheter, vilket visar att det påstådda fenomenet överensstämmer med de grundläggande principerna och är internt. konsekvent. Detta är den största skillnaden från modeller av typ 7, som avslöjar dolda motsägelser.

Ett av de mest kända av dessa experiment är Lobachevskys geometri . ( Lobatsjovskij kallade det "imaginär geometri".) Einstein-Podolsky-Rosen-paradoxen uppfattades som ett tankeexperiment för att demonstrera kvantmekanikens inkonsekvens, men förvandlades på ett oplanerat sätt med tiden till en typ 8-modell - en demonstration av möjligheten. kvantteleportering av information.

Den innehållsmässiga klassificeringen baseras på stegen före matematisk analys och beräkningar. Åtta typer av modeller enligt Peierls är åtta typer av forskarpositioner inom modellering.

Komplexiteten i systemet som modelleras

Det föreslogs [B: 11] [B: 12] att särskilja tre komplexitetsnivåer hos system: enkla fysiska, komplexa fysiska och biologiska system, och det noterades att det i de flesta fall är oacceptabelt att reducera mer komplexa system till enklare. .

Hårda och mjuka modeller

Akademikern A. A. Andronov [B: 1] pekade ut tre typer av modellinstabilitet förknippade med att göra små förändringar i systemet: 1) instabilitet till en förändring i de initiala förhållandena (brott mot Lyapunovs stabilitetstillstånd), 2) instabilitet till små förändringar i parametrar som inte leder till en förändring av antalet frihetsgrader i systemet och 3) instabilitet till små förändringar i parametrar, vilket medför en förändring av antalet frihetsgrader i systemet. System där det finns instabilitet till små förändringar i parametrar med en förändring av antalet frihetsgrader av systemet, var det vanligt att beteckna som " icke- grov ". Senare kallades de "hårda" modeller.

Den harmoniska oscillatorn  är ett exempel på en "hård" modell; det erhålls som ett resultat av en stark idealisering av ett verkligt fysiskt system:

,

där betyder andraderivatan av med avseende på tid: . Enligt den formella klassificeringen är denna modell linjär, deterministisk, dynamisk, koncentrerad, kontinuerlig. I processen med dess konstruktion gjordes många antaganden (om frånvaron av yttre krafter, frånvaro av friktion, små avvikelser etc.), som i verkligheten kanske inte är uppfyllda.

I förhållande till verkligheten är detta oftast en typ 4-modell av förenkling ("vi utelämnar några detaljer för tydlighetens skull"), eftersom vissa väsentliga universella egenskaper utelämnas (till exempel försvinnande ). I någon approximation (säg, medan avvikelsen för belastningen från jämvikt är liten, med liten friktion, under en inte alltför lång tid och under förutsättning av vissa andra villkor), beskriver en sådan modell ett verkligt mekaniskt system ganska bra, eftersom de kasserade faktorerna har en försumbar effekt på dess beteende. Modellen kan dock förfinas genom att ta hänsyn till några av dessa faktorer. Detta kommer att leda till en ny modell, med en bredare (men återigen begränsad) räckvidd.

Egenskaperna hos en harmonisk oscillator förändras kvalitativt av små störningar. Till exempel, om vi lägger till en liten term (friktion) (  - någon liten parameter) till höger, så får vi exponentiellt dämpade svängningar, om vi ändrar tecknet för tilläggstermen kommer friktionen att övergå i pumpning och svängning amplituden kommer att öka exponentiellt.

För att lösa frågan om tillämpligheten av en stel modell är det nödvändigt att förstå hur betydande faktorerna är som vi har försummat. Det är nödvändigt att undersöka mjuka modeller erhållna genom en liten störning av den stela. För en harmonisk oscillator kan de till exempel ges av följande ekvation:

.

Här  är en funktion som kan ta hänsyn till friktionskraften eller fjäderstyvhetskoefficientens beroende av graden av dess sträckning. Funktionens explicita form intresserar oss inte för tillfället.

Om vi ​​bevisar att beteendet hos en mjuk modell inte i grunden skiljer sig från beteendet hos en hård modell (oavsett vilken explicit form de störande faktorerna har, om de är tillräckligt små), kommer problemet att reduceras till att studera den hårda modellen. Annars kommer tillämpningen av de resultat som erhållits i studien av den stela modellen att kräva ytterligare forskning.

Om ett system behåller sitt kvalitativa beteende under en liten störning sägs det vara strukturellt stabilt. Den harmoniska oscillatorn är ett exempel på ett strukturellt instabilt (icke-grovt) system. [B:13] Denna modell kan dock användas för att studera processer över begränsade tidsintervall.

Direkta och omvända problem med matematisk modellering

Det finns många problem förknippade med matematisk modellering. Först är det nödvändigt att komma med grundschemat för objektet som modelleras, för att reproducera det inom ramen för idealiseringarna av denna vetenskap. Så en tågvagn förvandlas till ett system av plattor och mer komplexa kroppar gjorda av olika material, varje material specificeras som dess standard mekaniska idealisering (densitet, elasticitetsmoduler, standardhållfasthetsegenskaper), varefter ekvationer ritas upp längs vägen vissa detaljer förkastas som obetydliga, beräkningar görs, jämförs med mätningar, modellen förfinas osv. Men för utvecklingen av matematisk modelleringsteknik är det användbart att demontera denna process i dess huvudbeståndsdelar.

Traditionellt finns det två huvudklasser av problem förknippade med matematiska modeller: direkt och invers.

Direkt uppgift : modellens struktur och alla dess parametrar anses vara kända, huvuduppgiften är att studera modellen för att utvinna användbar kunskap om objektet. Vilken statisk belastning tål bron? Hur det kommer att reagera på en dynamisk belastning (till exempel på marschen av ett kompani av soldater, eller på passagen av ett tåg i olika hastigheter), hur planet kommer att övervinna ljudbarriären, om det kommer att falla isär från fladder - det här är typiska exempel på en direkt uppgift. Att ställa in rätt direkta problem (ställa rätt fråga) kräver speciell skicklighet. Om de rätta frågorna inte ställs kan bron rasa, även om en bra modell har byggts för dess beteende. Så 1879 i Storbritannien kollapsade en metalljärnvägsbro över Firth of Tay , vars konstruktörer byggde en modell av bron, beräknade den för en 20-faldig säkerhetsmarginal för nyttolasten, men glömde att vindarna ständigt blåser på de platserna. Och efter ett och ett halvt år kollapsade den. [femton]

I det enklaste fallet (t.ex. en oscillatorekvation) är det direkta problemet mycket enkelt och reduceras till en explicit lösning av denna ekvation.

Omvänt problem : många möjliga modeller är kända, det är nödvändigt att välja en specifik modell baserat på ytterligare data om objektet. Oftast är modellens struktur känd och några okända parametrar måste bestämmas. Ytterligare information kan bestå av ytterligare empirisk data, eller i kraven på objektet ( designproblem ). Ytterligare data kan komma oberoende av processen för att lösa det omvända problemet ( passiv observation ) eller vara resultatet av ett experiment speciellt planerat under loppet av att lösa det ( aktiv observation ).

Ett av de första exemplen på en virtuos lösning av ett omvänt problem med största möjliga användning av tillgängliga data var Newtons metod för att rekonstruera friktionskrafter från observerade dämpade svängningar.

Ett annat exempel är matematisk statistik . Uppgiften för denna vetenskap är att utveckla metoder för att registrera, beskriva och analysera observations- och experimentdata för att bygga sannolikhetsmodeller av slumpmässiga massfenomen [B: 14] . Det vill säga att uppsättningen av möjliga modeller begränsas av probabilistiska modeller. I specifika problem är uppsättningen av modeller mer begränsad.

Datorsimuleringssystem

För att stödja matematisk modellering har datormatematiksystem utvecklats, till exempel Maple , Mathematica , Mathcad , MATLAB , VisSim , [B: 15] och Scilab , etc. De låter dig skapa formella och blockmodeller av både enkla och komplexa processer och enheter och enkelt ändra modellparametrar under simulering. Blockmodeller representeras av block (oftast grafiska), vars uppsättning och anslutning specificeras av modelldiagrammet.

Exempel

Malthus modell

Enligt modellen som föreslagits av Malthus är tillväxthastigheten proportionell mot den nuvarande befolkningsstorleken , det vill säga den beskrivs av differentialekvationen:

,

var  är en viss parameter som bestäms av skillnaden mellan födelsetalet och dödstalet. Lösningen till denna ekvation är en exponentialfunktion . Om födelsetalen överstiger dödligheten ( ), ökar befolkningens storlek i det oändliga och mycket snabbt. I verkligheten kan detta inte ske på grund av begränsade resurser. När en viss kritisk populationsstorlek uppnås upphör modellen att vara adekvat, eftersom den inte tar hänsyn till de begränsade resurserna. En förfining av Malthusmodellen kan fungera som en logistisk modell , som beskrivs av Verhulsts differentialekvation :

,

var  är "jämvikts" befolkningsstorleken, vid vilken födelsetalen exakt kompenseras av dödligheten. Populationsstorleken i en sådan modell tenderar till jämviktsvärdet , och detta beteende är strukturellt stabilt.

Bonhoeffer-van der Pol-modellen

Modellen som föreslagits i Richard FitzHughs artikel från 1961, [A:2] betraktas vanligtvis som ett klassiskt exempel på studiet av konceptuella modeller av snabbt-långsamma system . I sin kanoniska form skrivs det [A: 3] som

.

Richard FitzHugh härledde denna modell som ett resultat av en generalisering av van der Pols ekvation och en modell som föreslagits av den tyske kemisten Karl-Friedrich Bonhoeffer . Medan van der Pols ekvation (och motsvarande system) är en konceptuell gränscykelmodell , klassificeras Bonhoeffer-van der Pols ekvation (och motsvarande system) som en konceptuell modell av autovågprocesser . På grundval av detta har ett stort antal ämnesmässiga, formellt kinetiska, modeller av kemiska och biologiska oscillerande system skapats.

Predator-prey system

Låt oss säga att två typer av djur lever i ett visst område : kaniner (äter växter ) och rävar (äter kaniner). Låt antalet kaniner , antalet rävar . Genom att använda Malthus- modellen med nödvändiga korrigeringar, med hänsyn till rävens ätning av kaniner, kommer vi fram till följande system, som bär namnet på Lotka-Volterra-modellen :

Beteendet hos detta system är inte strukturellt stabilt : en liten förändring i parametrarna för modellen (till exempel med hänsyn till de begränsade resurser som kaniner behöver) kan leda till en kvalitativ förändring i beteendet .

För vissa parametervärden har detta system ett jämviktstillstånd när antalet kaniner och rävar är konstant. Avvikelse från detta tillstånd leder till gradvis dämpade fluktuationer i antalet kaniner och rävar.

Den motsatta situationen är också möjlig, när varje liten avvikelse från jämviktspositionen kommer att leda till katastrofala konsekvenser, upp till fullständig utrotning av en av arterna. På frågan om vilket av dessa scenarier som implementeras ger Volterra-Lotka-modellen inget svar: här krävs ytterligare forskning.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ "En matematisk representation av verkligheten" (Encyclopaedia Britanica)
  2. ↑ Modellera minskning och grovkorniga tillvägagångssätt för flerskaliga  fenomen . Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4 . Hämtad 18 juni 2013. Arkiverad från originalet 18 juni 2013.
  3. ↑ "En teori anses vara linjär eller icke-linjär beroende på om det är linjär eller icke-linjär matematisk apparat, vilka linjära eller icke-linjära matematiska modeller den använder. ... utan att förneka det senare. En modern fysiker skulle, om han råkade omdefiniera en så viktig enhet som icke-linjäritet, med största sannolikhet agera annorlunda, och skulle föredra icke-linjäritet som den viktigaste och vanligaste av de två motsatserna, definiera linjäritet som "icke-icke- linjäritet". Danilov Yu. A. , föreläsningar om icke-linjär dynamik. Elementär introduktion. Synergetik: från det förflutna till den framtida serien. Ed.2. — M.: URSS, 2006. — 208 sid. ISBN 5-484-00183-8
  4. ↑ Anishchenko, 1997 , "Dynamiska system modellerade av ett ändligt antal vanliga differentialekvationer kallas klump- eller punktsystem. De beskrivs med ett ändligt dimensionellt fasutrymme och kännetecknas av ett ändligt antal frihetsgrader. Ett och samma system under olika förhållanden kan betraktas som antingen koncentrerat eller distribuerat. Matematiska modeller av distribuerade system är partiella differentialekvationer, integralekvationer eller vanliga ekvationer med retarderade argument. Antalet frihetsgrader för ett distribuerat system är oändligt, och ett oändligt antal data krävs för att bestämma dess tillstånd.
  5. ↑ 1 2 3 Sovetov, 2001 , “Beroende på karaktären hos de processer som studeras i systemet S, kan alla typer av modellering delas in i deterministisk och stokastisk, statisk och dynamisk, diskret, kontinuerlig och diskret-kontinuerlig. Deterministisk modellering visar deterministiska processer, det vill säga processer där frånvaron av några slumpmässiga influenser antas; stokastisk modellering visar probabilistiska processer och händelser. … Statisk modellering används för att beskriva ett objekts beteende vid vilken tidpunkt som helst, medan dynamisk modellering speglar ett objekts beteende över tid. Diskret modellering används för att beskriva processer som antas vara diskreta, respektive kontinuerlig modellering låter dig reflektera kontinuerliga processer i system, och diskret-kontinuerlig modellering används för fall då man vill lyfta fram förekomsten av både diskreta och kontinuerliga processer.
  6. ↑ Myshkis, 2007 , Vanligtvis återspeglas strukturen (enheten) hos objektet som modelleras i den matematiska modellen , egenskaperna och sammankopplingarna av komponenterna i detta objekt som är väsentliga för forskningsändamål; en sådan modell kallas strukturell. Om modellen bara speglar hur objektet fungerar – till exempel hur det reagerar på yttre påverkan – så kallas det för en funktionell eller bildligt talat en svart låda. Kombinerade modeller är också möjliga.
  7. ↑ Myshkis, 2007 , "Ett uppenbart, men det viktigaste inledningsskedet i att konstruera eller välja en matematisk modell är att få en tydligast möjlig uppfattning om objektet som modelleras och att förfina dess innehållsmodell baserat på informella diskussioner. Tid och ansträngningar bör inte sparas i detta skede, framgången för hela studien beror till stor del på det. Mer än en gång hände det att avsevärt arbete som lagts ner på att lösa ett matematiskt problem visade sig vara ineffektivt eller till och med bortkastat på grund av otillräcklig uppmärksamhet på denna sida av saken. 35.
  8. ↑ Soviets, 2001 , “ Beskrivning av systemets konceptuella modell. I detta delsteg av att bygga en systemmodell: a) beskrivs den konceptuella modellen M i abstrakta termer och begrepp; b) en beskrivning av modellen ges med hjälp av typiska matematiska scheman; c) hypoteser och antaganden accepteras slutligen; d) valet av en procedur för att approximera verkliga processer när man bygger en modell är underbyggd.», sid. 93.
  9. ↑ Myshkis, 2006 , kapitel 2.
  10. ↑ Samarsky, 2001 , "Konstruktionen av en modell börjar med en verbal och semantisk beskrivning av ett objekt eller fenomen. … Detta stadium kan kallas formuleringen av förmodellen.”, sid. 25.
  11. ↑ Peierls R. Modellskapande i fysik. — Förakt. Phys., januari/februari 1980, v. 21, sid. 3-17; Översättning: R. Peierls , Konstruktion av fysiska modeller, UFN, 1983, nr 6.
  12. ↑ Gorban A. N., Khlebopros R. G. , Darwins demon: idén om optimalitet och naturligt urval . - M: Vetenskap. Chefred. Phys.-Matte. lit., 1988. - 208 sid. - (Problems of Science and Technological Progress) - ISBN 5-02-013901-7 (Kapitel " Modelltillverkning " Arkiverad 7 oktober 2008 på Wayback Machine )
  13. ↑ "Vi har alltid förmågan att motbevisa en teori, men notera att vi aldrig kan bevisa att den är korrekt. Anta att du lägger fram en framgångsrik hypotes, beräknar vart den leder och finner att alla dess konsekvenser bekräftas experimentellt. Betyder detta att din teori stämmer? Nej, det betyder helt enkelt att du misslyckades med att motbevisa det ”
    Feynman P. , The nature of Physical Laws. Library "Quantum", nummer 62. - M .: Nauka, Ed. andra, reviderad, 1987; Föreläsning 7. På jakt efter nya lagar. Arkiverad 5 mars 2016 på Wayback Machine
  14. ↑ ”Detta hände efter upptäckten av neutronen , och även om W. Heisenberg själv förstod att kärnor kunde beskrivas som bestående av neutroner och protoner , kunde han fortfarande inte bli av med tanken att neutronen i slutändan skulle bestå av en proton och en elektron . I detta fall uppstod en analogi mellan interaktionen i neutron-protonsystemet och interaktionen mellan väteatomen och protonen. Det var denna analogi som ledde honom till slutsatsen att det måste finnas utbyteskrafter av interaktion mellan en neutron och en proton, som är analoga med utbyteskrafterna i systemet på grund av övergången av en elektron mellan två protoner. ... Senare bevisades dock existensen av utbyteskrafter för interaktion mellan en neutron och en proton, även om de inte helt uttömde interaktionen mellan två partiklar ... Men efter samma analogi kom W. Heisenberg till slutsatsen att det inte finns några kärnkrafter av interaktion mellan två protoner och att postulera repulsion mellan två neutroner. Båda dessa senare slutsatser står i konflikt med resultaten av senare studier.
  15. ↑ Science-Building Arkiverad 23 maj 2009 på Wayback Machine , Technical Encyclopedia

Litteratur

Böcker

  1. ↑ 1 2 Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Theory of Oscillations. - 2:a uppl., reviderad. och korrigerad - M . : Nauka , 1981. - 918 sid.
  2. ↑ Matematisk encyklopedisk ordbok / Ch. ed. Prokhorov Yu. V. . - M . : Sov. Encyclopedia, 1988. - 847 sid.
  3. ↑ Novik I. B. Om de filosofiska frågorna om cybernetisk modellering . - M . : Kunskap, 1964.
  4. ↑ Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A. Systemmodellering: Proc. för universiteten . - 3:e uppl., reviderad. och ytterligare .. - M . : Vyssh. skola, 2001. - 343 sid. — ISBN 5-06-003860-2 .
  5. ↑ Samarsky A. A. , Mikhailov A. P. Matematisk modellering. Idéer. Metoder. Exempel . — 2:a uppl., rättad. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X .
  6. ↑ Myshkis A. D. Element i teorin om matematiska modeller . - 3:e uppl., Rev. - M . : KomKniga, 2007. - 192 sid. — ISBN 978-5-484-00953-4 .
  7. ↑ Sevostyanov, A. G. , Sevostyanov, P. A. Modellering av tekniska processer: lärobok. - M. : Lätt- och livsmedelsindustri, 1984. - 344 sid.
  8. ↑ Rotach V. Ya. Teori om automatisk kontroll. - 1:a. - M . : CJSC "Publishing House MPEI", 2008. - 333 sid. - ISBN 978-5-383-00326-8 .
  9. ↑ Skorinkin A.I. Matematisk modellering av biologiska processer. - Kazan: Kazan. un-t, 2015. - 86 sid.
  10. ↑ Blekhman I. I. , Myshkis A. D. , Panovko N. G. Tillämpad matematik: Ämne, logik, egenskaper hos tillvägagångssätt. Med exempel från mekanik: Lärobok. - 3:e uppl., Rev. och ytterligare .. - M . : URSS, 2006. - 376 sid. — ISBN 5-484-00163-3 .
  11. ↑ Mishchenko E. F. , Kolesov Yu. S. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Periodiska rörelser och bifurkationsprocesser i enskilt störda system . - M . : Fizmatlit, 1995. - 336 sid. — ISBN 5-02-015129-7 .
  12. ↑ Mishchenko E. F. , Sadovnichiy V. A. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Mycket kaos . - M . : Fizmatlit, 2012. - 432 sid. — ISBN 978-5-9221-1423-3 .
  13. ↑ Arnold V. I. Stela och mjuka matematiska modeller . - M. : MTSNMO, 2004. - ISBN 5-94057-134-4 .
  14. ↑ Probabilistiska delar av matematiken / Ed. Yu. D. Maksimova . - St Petersburg. : "Ivan Fedorov", 2001. - S.  400 . — 592 sid. — ISBN 5-81940-050-X .
  15. ↑ Dyakonov V.P. Matlab R2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Grunderna för tillämpning. - M. : Solon-Press, 2008. - 800 sid. - (Proffss bibliotek). - ISBN 978-5-91359-042-8 .

Artiklar

  1. ↑ Anishchenko V.S. Dynamic systems // Soros Educational Journal. - 1997. - Nr 11 . - S. 77-84 .
  2. ↑ FitzHugh R. Impulser och fysiologiska tillstånd i teoretiska modeller av nervmembran   // Biophys . J. : tidskrift. - 1961. - Vol. 1 . — S. 445–466 .
  3. ↑ Moskalenko A. V. , Tetuev R. K. , Makhortykh S. A. På frågan om det aktuella tillståndet för oscillationsteorin  // Preprints of the IAM im. M. V. Keldysh  : tidskrift. - 2019. - Nr 44 . — S. 1–32 . — ISSN 2071-2901 . - doi : 10.20948/prepr-2019-44 .

Ytterligare läsning

 Matematikens grenar
Portal "Science"
Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra
Talteori ( aritmetik )
  • Portalen "Matematik"
  • Kategori "Matematik"
  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk