Kvaternionanalys

Kvaternionanalys är en gren av matematiken som studerar vanliga kvaternionvärderade funktioner hos en kvartnionvariabel. På grund av den icke - kommutativa quaternionalgebra finns det olika icke-ekvivalenta tillvägagångssätt för definitionen av reguljära kvaternionfunktioner. Denna artikel kommer huvudsakligen att överväga Fueters tillvägagångssätt [1] .

Definition av en vanlig funktion

Tänk på operatören

{\bar \partial }={\frac {\partial }{\partial {\bar q))}={\frac {\partial }{\partial t))+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x))+{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y))+{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z))

En funktion av en kvaternionvariabel kallas reguljär if $f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H}$

{\bar \partial }f=0

Harmoniska funktioner

Låt , sedan och . Det är lätt att kontrollera att operatören har blanketten ${\bar \partial }f=0$ $\partial {\bar \partial }f=0$ $\partial {\bar \partial }$

\partial {\bar \partial }={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}=\Delta _ {fyra}

och sammanfaller med Laplace-operatören i . Således är alla komponenter i en vanlig kvartjonfunktion harmoniska funktioner i . Omvänt kan det visas att för varje övertonsfunktion finns det en vanlig kvartjonfunktion sådan att . Många egenskaper hos vanliga kvaternionfunktioner följer omedelbart av egenskaperna hos harmoniska funktioner, i synnerhet maximiprincipen . $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ $\tau \colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R}$ $f$ $\tau =\operatörsnamn {Skal}\,f$

Vissa applikationer

Quaternions används aktivt för att beräkna tredimensionell grafik i datorspel

Differentiering av mappningar

Låta vara en funktion definierad på kroppen av quaternions. Vi kan definiera begreppet vänsterderivata vid en punkt som ett tal så att $y=f(x)$ $y'_{l}$ $x=a$

f(x)-f(a)=y'_{l}(xa)+o(xa)

där är en infinitesimal av , dvs. $åh)$ $h$

\lim _{h\to 0}{\frac {|o(h)|}{|h|}}=0

Uppsättningen funktioner som har en vänsterderivata är begränsad. Till exempel funktioner som

y=axb

y=x^2

inte har en vänsterderivata.

Låt oss överväga ökningen av dessa funktioner mer noggrant.

a(x+h)b-axb=ahb

(x+h)^{2}-x^{2}=xh+hx+h^{2}

Det är lätt att verifiera att uttrycken

ahb

och

xh+hx

är linjära funktioner av kvaternionen . Denna observation ligger till grund för följande definition [2] . $h$

kontinuerlig visning

f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

kallas differentiable på mängden om vid varje punkt förändringen i mappningen kan representeras som $U\subset \mathbb {H}$ $x\i U$ $f$

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

var

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

en linjär karta av quaternion algebra och en kontinuerlig karta sådan att $\mathbb {H}$ $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

Linjär display

{\frac {df(x)}{dx))

kallas derivatan av mappningen . $f$

Derivatan kan representeras som [3]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\ibland {\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Följaktligen har mappningsdifferentialen formen $f$

df={\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\ibland {\frac {d_{ s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Här antas summering efter index . Antalet termer beror på valet av funktion . Uttryck $s$ $f$

{\frac {d_{s0}df(x)}{dx)),{\frac {d_{s1}f(x)}{dx))

kallas komponenter i derivatan.

Derivaten uppfyller likheterna

{\frac {d(f(x)+g(x))}{dx))={\frac {df(x)}{dx))+{\frac {dg(x)}{dx }}

{\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg (x)}{dx}}

{\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x )+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)

{\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b

{\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b

Om , så har derivatan formen $y=axb$

{\frac {daxb}{dx}}=a\otimes b,dy={\frac {daxb}{dx}}\circ dx=a\,dx\,b

{\frac {d_{10}axb}{dx}}=a,{\frac {d_{11}axb}{dx}}=b

Om , så har derivatan formen $y=x^2$

{\frac {dx^{2}}{dx}}=x\otimes 1+1\otimes x,dy={\frac {dx^{2}}{dx}}\circ dx=x\ ,dx+dx\,x

och komponenterna i derivatet har formen

{\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x,{\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1

{\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1,{\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x

Om , så har derivatan formen $y=x^{-1}$

{\frac {dx^{-1}}{dx}}=-x^{-1}\otimes x^{-1},dy={\frac {dx^{-1}}{dx }}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}

och komponenterna i derivatet har formen

{\frac {d_{10}x^{-1}}{dx}}=-x^{-1},{\frac {d_{11}x^{-1}}{dx}} =x^{-1}

Anteckningar

↑ Fueter, R. Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen // Commentarii Mathematici Helvetici. - Nr 1. - Birkhäuser Basel, 1936. - S. 371-378.
↑ Aleks Kleyn , eprint arXiv:1601.03259 Arkiverad 25 januari 2018 på Wayback Machine Introduction into Calculus over Banach algebra, 2016
↑ Uttrycket är inte ett bråk och ska behandlas som ett enda tecken. Denna notation föreslås för kompatibilitet med derivatanteckningen. Värdet på uttrycket när det ges är en kvaternion. ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ $x$

Litteratur

DB Sweetser , Doing Physics with Quaternions Arkiverad 7 januari 2009 på Wayback Machine
A. Sudbery , Kvaternionisk analys, Institutionen för matematik, University of York, 1977.
V. I. Arnold , Geometry of sfäriska kurvor och quaternionalgebra , Uspekhi Mat. Nauk, 1995, 50:1(301), 3-68

Se även

Komplex analys

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"