Differentialalgebra

Differentialringar , fält och algebror kallas ringar , fält och algebror utrustade med differentiering - en unär operation som uppfyller produktregeln . Ett naturligt exempel på ett differentialfält är fältet för rationella funktioner för en komplex variabel , operationen av differentiering motsvarar differentiering med avseende på . Teorin skapades av Joseph Ritt (1950) och hans elev Ellis Kolchin [1] [2] . $C(t)$ $t$

Definitioner

Differentialringar

En differentialring är en ring R utrustad med en eller flera endomorfismer ( derivationer )

\partial \kolon R\till R

uppfyller produktregeln

\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})

för någon . Vi betonar att regeln kan misslyckas i en icke-kommutativ ring. I icke-indexformen av notation, om - multiplikation i ringen, kommer produktregeln att ha formen $r_{1},r_{2}\i R$ $d(xy)=xdy+ydx$ $M\kolon R\ gånger R\till R$

\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatornamn {id})+M\circ (\operatörsnamn {id}\otimes \partial ).

var är en par -till-par- mappning . $f\otimes g$ $(x,y)$ $(f(x),g(y))$

Differentiella fält

Ett differentialfält är ett fält K utrustat med en härledning. Differentieringen måste lyda Leibniz-regeln i formen

\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u

eftersom multiplikation i ett fält är kommutativ. Differentieringen måste också vara distributiv med avseende på addition:

\partial (u+v)=\partial u+\partial v

Fältet av konstanter för ett differentialfält kallas . $K$ $k=\{u\in K|\partial (u)=0\}$

Differentialalgebra

En differentialalgebra över ett fält K är en K -algebra A där härledningarna pendlar med fältet. Det vill säga för alla och : $k\in K$ $x\i A$

\ \partial (kx)=k\partial x

I icke-indexform, om är en morfism av ringar som definierar multiplikation med skalärer i algebra, då $\eta\colon K\till A$

\partial \circ M\circ (\eta \times \operatörsnamn {Id})=M\circ (\eta \times \partial )

Precis som i andra fall måste differentieringen uppfylla Leibniz regel för multiplikation i algebra och vara linjär med avseende på addition. Det vill säga för alla och : $a,b\in K$ $x,y\i A$

\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)

och

\partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y

Differentiering i Lie-algebra

En Lie-algebra-derledning är en linjär mappning som uppfyller Leibniz-regeln: $L$ $\delta \kolon L\till L$

\ \delta ([a,b])=[a,\delta (b)]+[\delta (a),b]

För varje operatörsdifferentiering på , som följer av Jacobi-identiteten . Varje sådan härledning kallas intrinsic . $a\in L$ $\operatörsnamn {ad} (a)$ $L$

Exempel

Om är en algebra med enhet , då , sedan . Till exempel, i differentialfält med karakteristik 0, bildar de rationella elementen ett underfält i konstantfältet. $A$ $\partial(1)=0$ $\partial (1)=\partial (1\gånger 1)=\partial (1)+\partial (1)$

Vilket fält som helst kan betraktas som ett fält av konstanter.

I fältet finns det en naturlig struktur av differentialfältet, definierad av likheten : det följer av fältets axiom och differentiering att detta kommer att vara en differentiering med avseende på . Till exempel följer det av kommutativiteten för multiplikation och Leibniz-regeln att $\mathbb {Q} (t)$ $\partial(t)=1$ $t$

\partial (u^{2})=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u)

Det finns ingen lösning på differentialekvationen i ett differentialfält , men den kan utökas till ett fält som innehåller en funktion som har en lösning på denna ekvation. $\mathbb {Q} (t)$ $\partial (u)=u$ $e^{t}$

Ett differentialfält som har en lösning för alla system av differentialekvationer kallas differentiellt slutet fält . Sådana fält finns, även om de inte uppstår naturligt i algebra eller geometri. Varje differentialfält (med begränsad effekt ) är inbäddat i ett större differentiellt slutet fält. Differentiella fält studeras i differential Galois teori .

Naturliga exempel på derivator är partiella derivator , Lie- derivator , Pincherle-derivatan och kommutatorn med avseende på ett givet element i algebra. Alla dessa exempel är nära relaterade till den allmänna idén om differentiering.

Ring av pseudodifferentiella operatorer

Differentialringar och differentialalgebror studeras ofta med ringen av pseudodifferentiella operatorer över dem:

R((\xi ^{{-1))))=\left\{\summa _{{n<\infty }}r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right \}.

Multiplikationen i denna ring definieras som

(r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\summa _{{k=0}}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\ xi ^{{m+nk}}.

Här är binomialkoefficienten . Notera identiteten ${m \choose k}$

\xi ^{{-1}}r=\summa _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{{-1 -n}}

följer från

{-1 \choose n}=(-1)^{n}

och

r\xi ^{{-1}}=\summa _{{n=0}}^{\infty }\xi ^{{-1-n}}(\partial ^{n}r).

Graderad differentiering

Låta vara en graderad algebra , vara en homogen linjär mappning, . kallas en homogen derivata om , när den verkar på homogena element . En graderad derivata är summan av homogena derivator med samma . $A$ $D$ $d=\vänster|D\höger|$ $D$ $D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{{|a||D|}}aD(b)$ $\epsilon=\pm 1$ $A$ $\epsilon$

Om , är definitionen densamma som vanlig differentiering. $\epsilon=1$

Om , alltså , för udda . Sådana endomorfismer kallas antiderivat . $\epsilon=-1$ $D(ab)=D(a)b+(-1)^{{|a|}}aD(b)$ $\vänster|D\höger|$

Exempel på anti-derivat är de externa och interna derivaten av differentiella former .

Graderade derivator av superalgebror (det vill säga -graderade algebror) kallas ofta superderivator . ${\mathbb {Z}}_{2}$

Anteckningar

↑ Ritt, Joseph Fels (1950). Differentialalgebra. New York: AMS Colloquium Publications (volym 33).
↑ Kolchin, ER (1985), Differential algebraic groups , vol. 114, Pure and Applied Mathematics, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-417640-9 , < https://books.google.com/books?isbn=0124176402 >

Se även

Differential Galois teori
Kähler differential
Differentiellt slutet fält
En D-modul är en algebraisk struktur med flera differentialoperatorer som verkar på den.

Litteratur

Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
I. Kaplansky Differential Algebra, Hermann (1957).
E. Kolchin Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973.
D. Marker, M. Messmer och A. Pillay, Springer Verlang (1996).
A. Magid Föreläsningar om differentiell Galois teori, amerikansk matematik. samhället, 1994.

David Markers hemsida innehåller flera artiklar om differentialfält.

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"