Ställ in effekt

Potensen , eller kardinaltalet , för en mängd ( lat. cardinalis ← cardo "den huvudsakliga omständigheten; grunden; hjärtat") är ett kännetecken för mängder (inklusive oändliga sådana ), vilket generaliserar begreppet antalet (antalet) element i en ändlig uppsättning.

Detta koncept är baserat på naturliga idéer om att jämföra uppsättningar:

vilka två uppsättningar som helst, mellan de element av vilka en en-till-en-överensstämmelse ( bijektion ) kan upprättas, innehåller samma antal element (har samma kardinalitet, är lika kraftfulla );
vice versa: ekvipotenta uppsättningar måste tillåta en sådan en-till-en-korrespondens;
en del av mängden överstiger inte hela mängden i kardinalitet (det vill säga i antalet element).

Innan teorin om mängdens makt byggdes skilde sig mängderna åt vad gäller egenskaper: tom/icke-tom och finita/oändlig, och finita mängder skilde sig också åt i antalet element. Oändliga mängder kunde inte jämföras.

Kraften i set gör att du kan jämföra oändliga uppsättningar. Till exempel är räknebara uppsättningar de "minsta" oändliga uppsättningarna.

Kardinaliteten för en uppsättning betecknas med . Ibland finns det notationer och . $A$ $|A|$ $\overline {\overline {A}}$ $\#A$ ${\mathrm {kort}}(A)$

Definition

Om valets axiom accepteras som sant, kommer kardinaliteten av en mängd formellt att definieras som det minsta ordningstalet , under vilket en bijektiv överensstämmelse kan fastställas mellan och . Denna definition kallas också von Neumann- fördelningen av kardinaltal . $\alfa$ $X$ $\alfa$

Om vi inte accepterar valets axiom, krävs ett annat tillvägagångssätt. Den allra första definitionen av en mängds kardinalitet (som är implicit i Cantors arbete och uttryckligen anges i Frege och även i Principia Mathematica ) är klassen av alla mängder som är ekvivalenta i kardinalitet . I axiomatiska system baserade på ZFC-teorin är en sådan definition inte tillämplig, eftersom en sådan samling för icke-tom är för stor för att passa definitionen av en uppsättning. Mer exakt, om , Då finns det en injektiv kartläggning av den universella uppsättningen till , under vilken varje uppsättning går till , varifrån, i kraft av axiomet för storleksbegränsningen, följer att det är en riktig klass. Denna definition kan användas i typteori och "nya grunder" , såväl som i relaterade axiomatiska system. I fallet med ZFC kan definitionen användas genom att begränsa samlingen till lika mängder med minsta rang (detta trick, föreslagit av Dana Scott , fungerar eftersom samlingen av objekt som har en given rang är en uppsättning). $X$ $[X]$ $X$ $X$ $X\neq \varnothing$ $[X]$ $m$ $\{m\}\tid X$ $[X]$ $[X]$

Den formella ordningen bland kardinalnummer introduceras enligt följande: betyder att mängden kan injektivt mappas till . Enligt Cantor-Bernstein-satsen följer det av ojämlikhetsparet och det . Valets axiom är ekvivalent med påståendet att för alla uppsättningar och åtminstone en av ojämlikheterna eller . $|X|\leq |Y|$ $X$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$ $|X|=|Y|$ $X$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$

En mängd kallas oändlig enligt Dedekind om den har en riktig delmängd så att . Annars heter uppsättningen Dedekind finite. Finita kardinaltal sammanfaller med vanliga naturliga tal eller noll, - med andra ord, mängden är ändlig om och endast om för något naturligt tal eller för (om mängden är tom ). Alla andra uppsättningar är oändliga . Med förbehåll för valets axiom kan man bevisa att Dedekinds definitioner sammanfaller med standarddefinitionerna. Dessutom kan det bevisas att kardinaliteten i mängden naturliga tal ( alef-noll , eller alef-0, - namnet härrör från första bokstaven i det hebreiska alfabetet ) är det minsta oändligt stora kardinaltalet, dvs. , i vilken oändlig mängd som helst finns det en delmängd av kardinalitet . Kardinalnumret nästa i ordningen betecknas , och så vidare, antalet alfer är oändligt. Vilket ordningstal som helst motsvarar ett kardinalnummer och på så sätt kan vilket oändligt stort kardinaltal som helst beskrivas. $X$ $Y$ $|X|=|Y|$ $X$ $|X|=|n|=n$ $n$ $n=0$ $\aleph_0$ $\aleph$ $\aleph_0$ $\aleph_1$ $\alfa$ $\aleph _{\alpha }$

Relaterade definitioner

Kardinaliteten av uppsättningen naturliga tal betecknas med symbolen (" alef - noll"). En mängd kallas oändlig om dess kardinalitet inte är mindre (inte mindre än kardinaliteten för mängden naturliga tal), så räknebara mängder är den "minsta" av oändliga mängder. Nästa kardinalnummer i stigande ordning anges (där indexet går igenom alla ordningssiffror ). Bland kardinaltalen finns det inget största: för varje uppsättning kardinaltal finns det ett kardinalnummer som är större än alla element i denna uppsättning. ${{\mathbb N}}$ $\aleph_0$ $\aleph_0$ $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{{\omega +1)),\dots \aleph _{{\omega _{1)) },\dots$

Mängder som är ekvivalenta med mängden av alla reella tal sägs ha kontinuumkardinalitet , och kardinaliteten av sådana mängder betecknas med symbolen . Det antagande som kallas kontinuumhypotesen . $\mathfrak{c}$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$

För kardinaliteter, som i fallet med ändliga mängder, finns begrepp: "likhet", "större", "mindre". Det vill säga för alla uppsättningar och endast en av de tre är möjlig: $A$ $B$
1. $|A|=|B|$ , eller och är likvärdiga; $A$ $B$
2. $|A|>|B|$ , eller mer kraftfull , det vill säga den innehåller en delmängd som är lika kraftfull , men inte lika kraftfull; $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$
3. $|A|<|B|$ , eller mer kraftfull - i det här fallet innehåller den en delmängd som är likvärdig med , men inte lika kraftfull. $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$
- En situation där och inte är lika kraftfulla, och samtidigt ingen av dem har en del som är likvärdig med den andra, är omöjlig. Detta följer av Zermelos teorem . Annars skulle detta innebära existensen av ojämförliga krafter (vilket är möjligt i princip om man inte accepterar valets axiom ). $A$ $B$
- Situationen där och är omöjlig av Cantor-Bernstein-satsen . $|A|>|B|$ $|A|<|B|$
Uppsättningar och kallas ekvivalenta om det finns en en-till-en-mappning av en uppsättning till en uppsättning . [ett] $A$ $B$ $A$ $B$

Exempel

En mängd kallas finit om den är ekvivalent i effekt med ett segment av den naturliga serien för något icke-negativt heltal . Talet uttrycker antalet element i den finita mängden. För innehåller uppsättningen inga element (tom uppsättning). Om , så finns det ingen injektiv mappning från till ( Dirichlets princip ), och därför finns det ingen bijektion mellan dem. Därför uppsättningarna och har olika kardinaliteter. $I_{n}=\{1,2,...,n\}$ $n$ $n$ $n=0$ $m>n$ $Jag är}$ $I}$ $Jag är}$ $I}$

En mängd kallas räknebar om den är ekvivalent med mängden av alla naturliga tal . De räknebara uppsättningarna är: $\mathbb {N}$
- Ett set för alla naturliga . En bijektiv matchning som mappar till : . ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $k$ $\mathbb {N}$ ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $n\högerpil n+k$
- Massor av . Efterlevnad: . ${\mathbb {N}}\cup \{0\}$ $n\högerpil n-1$
- Uppsättning heltal . En överensstämmelse erhålls om villkoren för en oändlig serie jämförs med dess delsummor (seriens villkor tas utan hänsyn till tecknet). $\mathbb {Z}$ $0+1-2+3-4+5-6+\dots$
- Uppsättningen av par naturliga tal . ${\mathbb {N}}\ gånger {\mathbb {N}}$
- Mängden rationella tal mappas injektivt till en mängd (det vill säga varje irreducerbar bråkdel av formen motsvarar injektivt ett talpar ). Därför är uppsättningen av rationella tal som mest räknebar. Men eftersom den innehåller mängden naturliga tal är den åtminstone räknebar. Följaktligen, enligt Cantor-Bernsteins sats, är det exakt räknebart. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Z}}\times {\mathbb {N}}$ $p/q$ $(p,q)\in {\mathbb {Z}}\times {\mathbb {N}}$

Oändliga mängder som inte är likvärdiga med mängden kallas oräkneliga. Enligt Cantors teorem är mängden av alla möjliga oändliga sekvenser som består av siffrorna 0 och 1 oräkneliga. Kraften i denna mängd kallas kontinuum . $\mathbb {N}$

Kardinaliteten för mängden reella tal är lika med kontinuumet. $\mathbb {R}$

Egenskaper

Två finita mängder är ekvivalenta om och endast om de består av samma antal element . Det vill säga, för en ändlig mängd sammanfaller begreppet makt med det vanliga begreppet kvantitet.
För oändliga mängder kan mängdens kardinalitet vara densamma som kardinaliteten för dess egen (det vill säga inte samma som den ursprungliga mängden) delmängd, till exempel . $|{{\mathbb N}}|=|{\mathbb Z}|$
Dessutom är en mängd oändlig om och endast om den innehåller en lika kraftfull egen delmängd.
Varje oändlig mängd är ekvivalent med mängden av alla dess ändliga delmängder. [2] $A$
Cantors teorem : Booleska värden för någon mängd A har större kardinalitet än A , dvs. $|2^{A}|>|A|$
- Speciellt för varje uppsättning finns det en uppsättning som är mer kraftfull.
Med hjälp av Cantor square kan man också bevisa följande: den kartesiska produkten av en oändlig mängd A med sig själv är ekvivalent med mängden A själv.
Kraften i den kartesiska produkten: $|A\ gånger B|=|A|\cdot |B|$
Formel för inkludering och uteslutning för två och tre uppsättningar: $|A\cup B|+|A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\cup B\cup C|+|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C|$
Kraften hos den symmetriska skillnaden mellan två och tre uppsättningar: $|A\bigtriangleup B|+2\cdot |A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\bigtriangleup B\bigtriangleup C|+2|A\cap B|+2|A\cap C|+2|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+3 |A\cap B\cap C|$

Aritmetik av kardinaltal

Vanliga aritmetiska operationer på naturliga tal kan generaliseras till fallet med kardinaltal. Det kan också visas att i fallet med ändliga kardinaltal sammanfaller dessa operationer med motsvarande aritmetiska operationer på tal. Dessutom behåller operationer på kardinaltal många av egenskaperna hos vanliga aritmetiska operationer.

Nästa kardinalnummer är

Om vi accepterar det valda axiomet är det för varje kardinalnummer möjligt att bestämma numret efter det , och det finns inga andra kardinaltal mellan och . Om , naturligtvis, då är kardinalnumret nästa i ordningen detsamma som . I fallet med oändligt skiljer sig nästa kardinaltal från nästa ordningsnummer. $\kappa$ $\kappa ^{+}>\kappa$ $\kappa$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $\kappa +1$ $\kappa$

V betecknar det föregående kardinalnumret för numret, om ett sådant finns; annars ,. $\kappa ^{-}$ $\kappa$ $\kappa ^{-}=\kappa$

Tillägg av kardinalnummer

Om mängderna och inte har några gemensamma element, bestäms summan av kardinaliteterna av kardinaliteten i deras förening . Om det finns gemensamma element kan de ursprungliga uppsättningarna ersättas med icke-korsande uppsättningar av samma kardinalitet - till exempel genom att ersätta med och med . $X$ $Y$ $X$ $X\ gånger\{0\}$ $Y$ $Y\ gånger\{1\}$

Noll neutralitet med avseende på addition:

\kappa +0=0+\kappa=\kappa

Associativitet :

(\kappa +\mu )+\nu =\kappa +(\mu +\nu)

Kommutativitet :

\kappa +\mu =\mu +\kappa

Monotonicitet (icke-minskande) av addition i båda argumenten:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa +\nu \leq \mu +\nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu +\kappa \leq \nu +\mu .

Om det valda axiomet accepteras som sant, kan summan av två oändliga kardinaltal lätt beräknas. Om ett av talen eller är oändligt, då $\kappa$ $\mu$

\kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Subtraktion

Med förbehåll för valets axiom, för alla oändliga kardinalnummer och godtyckliga kardinalnummer , förekomsten av , För vilken , är likvärdig med ojämlikheten . Detta är unikt (och sammanfaller med ) om och bara om . $\sigma$ $\mu$ $\kappa$ $\mu+\kappa=\sigma$ $\mu \leq \sigma$ $\kappa$ $\sigma$ $\mu <\sigma$

Multiplikation av kardinaltal

Produkten av två kardinaltal uttrycks i termer av den kartesiska produkten av mängder: $|X|\cdot |Y|=|X\ gånger Y|$

Noll egenskaper:

\kappa \cdot 0=0\cdot \kappa =0

\kappa \cdot \mu =0\rightarrow \kappa =0\lor \mu =0

Enhetsneutralitet med avseende på multiplikation:

\kappa \cdot 1=1\cdot \kappa =\kappa

Associativitet :

(\kappa \cdot \mu )\cdot \nu =\kappa \cdot (\mu \cdot \nu)

Kommutativitet :

\kappa \cdot \mu =\mu \cdot \kappa

Monotonicitet (icke-minskande) av multiplikation med avseende på båda argumenten:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa \cdot \nu \leq \mu \cdot \nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu \cdot \kappa \leq \nu \cdot \mu .

Multiplikationsfördelning med avseende på addition:

\kappa \cdot (\mu +\nu )=\kappa \cdot \mu +\kappa \cdot \nu

(\mu +\nu )\cdot \kappa =\mu \cdot \kappa +\nu \cdot \kappa

I analogi med addition kan produkten av två oändliga kardinaltal lätt beräknas samtidigt som man respekterar det valda axiomet. Om siffror och skiljer sig från noll och minst en av dem är oändlig, då $\kappa$ $\mu$

\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Division

Med förbehåll för axiom val, för alla par av kardinaltal och , där är oändlig och inte lika med noll, förekomsten av , För vilken , är ekvivalent med ojämlikheten . Detta är unikt (och sammanfaller med ) om och bara om . $\pi$ $\mu$ $\pi$ $\mu$ $\kappa$ $\mu \cdot \kappa=\pi$ $\mu \leq \pi$ $\kappa$ $\pi$ $\mu <\pi$

Exponentiering av kardinaltal

Exponentiering definieras enligt följande:

|X|^{{|Y|}}=|X^{Y}|

där anger mängden av alla funktioner från till . $X^{Y}$ $Y$ $X$

\kappa ^{0}=1

(särskilt ), se Tom funktion

0^{0}=1

1\leq \mu \rightarrow 0^{\mu }=0

1^{\mu}=1

\kappa ^{1}=\kappa

\kappa ^{{\mu +\nu }}=\kappa ^{\mu }\cdot \kappa ^{\nu }

\kappa ^{{\mu \cdot \nu }}=(\kappa ^{\mu })^{\nu }

(\kappa \cdot \mu )^{\nu }=\kappa ^{\nu}\cdot \mu ^{\nu }

Monoton:

{\displaystyle (1\leq \nu \land \kappa \leq \mu )\högerpil \nu ^{\kappa}\leq \nu ^{\mu ))

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa ^{\nu }\leq \mu ^{\nu }

Notera vad som är kraften i Boolean och därmed för varje uppsättning (se Cantors diagonalmetod ). Detta innebär att bland kardinalnumren finns det inget största (eftersom för vilket kardinalnummer som helst kan ett större antal anges ). Faktum är att klassen för alla kardinaltal är korrekt (även om detta i vissa system av axiom för mängdteorin inte kan bevisas - sådant är till exempel systemet med "Nya grunder" ). $2^{{|X|}}$ $X$ $2^{{|X|}}>|X|$ $X$ $\kappa$ $2^{\kappa}$

Alla efterföljande uttalanden i detta avsnitt förlitar sig på valets axiom.

Om och är ändliga tal större än 1, och är ett oändligt kardinaltal, då Om kardinaltalet är oändligt och ändligt skilt från noll, då . $\kappa$ $\mu$ $\nu$ $\kappa ^{\nu }=\mu ^{\nu }.$ $\kappa$ $\mu$ $\kappa ^{\mu }=\kappa$

Om och , och åtminstone en av dem är oändlig, då $\kappa \geq 2$ $\mu \geq 1$

{\displaystyle \max\{\kappa ,2^{\mu }\}\leq \kappa ^{\mu }\leq \max\{2^{\kappa },2^{\mu }\))

Med hjälp av Königs teorem kan man bevisa att för vilket oändligt kardinaltal som helst gäller följande ojämlikheter: $\kappa$

{\displaystyle \kappa </kappa ^{\operatörsnamn {cf} (\kappa )))

\kappa <\operatörsnamn {cf} (2^{\kappa })

där anger slutgiltighet . $\operatörsnamn {cf} (\kappa )$ $\kappa$

Extraktion av rötter

Om vi observerar valets axiom, så finns det för alla oändliga kardinaler och ändliga kardinaler ett kardinaltal så att , och . $\kappa$ $\mu>0$ $\nu$ $\nu ^{\mu }=\kappa$ $\nu=\kappa$

Logaritmer

Med förbehåll för valets axiom existerar inte alltid ett kardinaltal som uppfyller villkoret , givet oändligt och ändligt . Om en sådan finns, då är den oändlig och mindre än , och alla ändliga kardinalnummer kommer också att uppfylla jämställdheten . $\lambda$ $\mu ^{\lambda }=\kappa$ $\kappa$ $\mu>1$ $\lambda$ $\kappa$ $\nu>1$ $\nu ^{\lambda }=\kappa$

Logaritmen för ett oändligt kardinaltal är det minsta kardinaltal som uppfyller villkoret . Trots det faktum att logaritmerna för oändligt stora kardinaltal saknar några av de egenskaper som är karakteristiska för logaritmerna för positiva reella tal, visar de sig vara användbara inom vissa områden av matematiken - i synnerhet i studiet av kardinalinvarianter av topologiska mellanrum. $\kappa$ $\mu$ $\kappa \leq 2^{\mu }$

Kontinuumhypotes

Enligt kontinuumhypotesen finns det inga andra kardinaltal mellan och . Kardinalnumret betecknas också och representerar kontinuumets kardinalitet (det vill säga uppsättningen av reella tal ). I det här fallet . Den generaliserade kontinuumhypotesen förnekar existensen av kardinaltal strikt mellan och för varje oändlig uppsättning av . Kontinuumhypotesen är oberoende av standardaxiomatiseringen av mängdteorin, det vill säga Zermelo-Fraenkels axiomsystem kombinerat med valets axiom (se Zermelo-Fraenkels mängdlära ). $\aleph_0$ $2^{\aleph_0}$ $2^{\aleph_0}$ $\mathfrak{c}$ $2^{{\aleph _{0}}}=\aleph _{1}$ $|X|$ $2^{{|X|}}$ $X$

Se även

Ordningstal

Anteckningar

↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Allmän algebra. Volym 1. - M., Nauka, 1990. - sid. 31
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Allmän algebra. Volym 1. - M., Nauka, 1990. - sid. 32

Litteratur

A. A. Bolibrukh, Hilberts problem (100 år senare), Kapitel 2 Hilberts första problem: kontinuumhypotesen Arkiverad 3 juni 2004 på Wayback Machine , Mathematical Education Library, Issue 2
R. Courant, G. Robbins, Vad är matematik? II kap 4 §.
Valbar kurs i matematik. 7-9 / Jämf. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 109-110. — 383 sid. — ISBN 5-09-001287-3 .
Brudno A. L. Teori om funktioner för en reell variabel. - M. : Nauka, 1971. - 119 sid.

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion