Hyperboliska tal

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 juni 2020; kontroller kräver 6 redigeringar .

Hyperboliska tal , eller dubbla tal , parakomplexa tal , delade komplexa tal , komplexa tal av hyperbolisk typ , kontrakomplexa tal [1] är hyperkomplexa tal av formen " a + j b ", där a och b är reella tal och dessutom , j ≠ ±1 . $j^{2}=1,$

Definition

Algebraisk definition

Alla hyperboliska tal kan representeras som ett ordnat par av reella tal. Addition och multiplikation definieras enligt reglerna: $(x,y).$

(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'),

(x,y)\cdot (x',y')=(xx'+yy',xy'+yx').

Formens nummer identifieras med reella siffror, och sedan har motsvarande identiteter formen: ${\displaystyle(a,0)}$ $j=(0,1).$

(x+jy)+(x'+jy')=(x+x')+j(y+y'),

(x+jy)\cdot (x'+jy')=(xx'+yy')+j(xy'+yx').

Matrisrepresentation _

Hyperboliska tal kan representeras som matriser av reella tal, medan addition och multiplikation av hyperboliska tal kommer att motsvara addition och multiplikation av motsvarande matriser:

j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),

x+jy={\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.

Aritmetiska operationer

Tillägg: $(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.$
Subtraktion: $(a+bj)-(c+dj)=(ac)+(bd)j.$
Multiplikation: $(a+bj)\cdot (c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.$
Division med en divisor som inte är noll: ${\frac {a+bj}{c+dj}}={\frac {ac-bd}{c^{2}-d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{ c^{2}-d^{2}}}j.$

Egenskaper

\mathrm {e} ^{jx}=\operatörsnamn {ch} x+j\operatörsnamn {sh} x,

där sh och ch är hyperbolisk sinus och cosinus.

\operatörsnamn {sh} jx=j\operatörsnamn {sh} x

\operatörsnamn {ch} jx=\operatörsnamn {ch} x

Hyperboliska tal bildar en tvådimensionell associativ - kommutativ algebra över fältet av reella tal. Den hyperboliska talalgebra innehåller nolldelare (det vill säga icke-nollelement av z och w så att zw = 0 ) och är därför, till skillnad från det komplexa talalgebra , inte ett fält. Alla nolldelare är av formen $a\cdot (1\pm j).$

Om du tar det $\alpha =(1+j)/2$ $\beta =(1-j)/2,$

\alpha \beta =0,

\alpha ^{2}=\alpha

och

\beta ^{2}=\beta .

Varje hyperboliskt tal kan representeras som en summa där och är reella tal. I denna representation utförs addition och multiplikation koordinatvis. $\alpha x+\beta y,$ $x$ $y$

Således kan algebra av hyperboliska tal delas upp i en direkt summa av två fält av reella tal.

Applikation

Hyperboliska tal används ibland i relativistisk kinematik .

Anteckningar

↑ S. A. Zhilina. Grafer över relationer i algebra av kontrasedenioner. Anteckningar från vetenskapliga seminarier POMI, volym 482, sid. 87-113.

Länkar

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion