Cayley-Dixon procedur

Cayley-Dixon- proceduren ( fördubblingsprocedur ) är en iterativ procedur för att konstruera algebror över ett fält (eller över en ring ), där dimensionen fördubblas vid varje steg. Uppkallad efter Arthur Cayley och Leonard Dixon .

Denna procedur tillåter en att successivt bygga sina förlängningar från reella tal : komplexa tal , kvaternioner , oktonioner , sedenioner , etc. Används också i Hurwitzs sats för att hitta alla normerade divisionsalgebror . Så, enligt denna sats, är reella tal , komplexa tal , quaternions och octonions de enda normerade divisionalgebran (över fältet av reella tal).

Egenskaper för Cayley-Dixon Algebras

Algebra	Dimension ( n )	Ordning _	Multiplikationsegenskaper _				Frånvaron av neutrala. nolldelare _
Algebra	Dimension ( n )	Ordning _	Kommutativitet _	Associativitet _	Alternativ _	Maktassociativitet _ _	Frånvaron av neutrala. nolldelare _
Reella tal ( ) $\mathbb {R}$	ett	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja
Komplexa tal ( ) $\mathbb {C}$	2	Inte	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja
Kvaternioner ( ) ${\mathbb {H}}$	fyra	Inte	Inte	Ja	Ja	Ja	Ja
Oktonioner ( ) ${\mathbb {O}}$	åtta	Inte	Inte	Inte	Ja	Ja	Ja
Sedenioner ( ) $\mathbb{S}$	16	Inte	Inte	Inte	Inte	Ja	Inte
	> 16	Inte	Inte	Inte	Inte	Ja	Inte

Antalet fältsymmetrier minskar med varje tillämpning av Cayley-Dixon-proceduren: först försvinner ordningen , sedan kommutativiteten för multiplikationen, sedan associativiteten för multiplikationen och slutligen multiplikationens alternativhet (se tabell). Men samtidigt behåller alla algebror kraftassociativiteten för multiplikation, och per definition [1] är de enhetliga och deras multiplikation är distributiv med avseende på addition .

I en mer allmän mening tar Cayley-Dixon-proceduren vilken algebra som helst med en involution till en annan algebra med en involution som är dubbelt så stor [2] :45 .

Allmänt fall

Om det för vissa tal finns begrepp: multiplikation , konjugerat tal och talnorm som (se sammansättningsalgebra ), så kan dessa begrepp också introduceras för ordnade talpar : $a$ $b$ $\ |a|^{2}=a{\bar {a}}$ $(a,b)$

$(a,b)(c,d)=(ac-{\bar {d}}b,da+b{\bar {c}})$ - lagen om multiplikation av par,

${\overline {(a,b)))=({\bar {a)),-b)$ - konjugerat par.

Egenskaper

(utökad) norm för ett beställt par:

|(a,b)|^{2}=(a,b){\overline {(a,b)}}=(a,b)({\bar {a}},-b)= (a{\bar {a}}+b{\bar {b}},ba-ba)=(|a|^{2}+|b|^{2},0)=|a|^{2 }+|b|^{2}

— är lika med noll endast när a = b = 0 .

Om den ursprungliga algebra var en associativ divisionsalgebra definieras (utökad) division som eller , vilket betyder att den tidigare egenskapen innebär frånvaron av nolldelare . $\r/q$ ${\displaystyle {\frac {r{\bar {q}}}{|q|^{2))))$ ${\displaystyle {\frac {{\bar {q}}r}{|q|^{2))))$

Om detta är sant för siffror, så är det sant för ordnade par: $\ {\overline {ab}}={\bar {b}}\cdot {\bar {a)),$

{\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{ \bar {c)))=({\bar {c)),-d)({\bar {a)),-b)={\överlinje {(c,d)))\cdot {\överlinje { (a,b)}}.

Om den ursprungliga algebran är associativ normaliseras den utökade algebran , eftersom:

|rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)))=(rq)({\bar {q)){\bar {r)))=r(q{\bar {q))){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.

I det allmänna fallet visar sig resultatet vara en icke -associativ algebra.

Ärvd

Om den ursprungliga algebra har en enhet är (1, 0) en enhet i den utökade algebra.

Om i den ursprungliga algebra varje element av formen x + x * eller x x * associerar och pendlar med alla element, så är det även den utökade algebra. I synnerhet genererar vilket element som helst en kommutativ *-algebra , vilket antyder associativitetsegenskapen hos makter .

Försvagad

Om den ursprungliga algebra är kommutativ och konjugationen är identisk , då är den utökade algebra kommutativ.
Om den ursprungliga algebra är kommutativ och associativ är den utökade algebra associativ.
Om den ursprungliga algebran är associativ och i den ursprungliga algebra pendlar varje element av formen x + x * eller x x * med alla element, då är den utökade algebra alternativ .

Med hjälp av exemplet med siffror kan man spåra hur fältet C (en *-algebra med icke-trivial konjugation) erhålls från fältet R med identisk konjugation , från vilket en icke-kommutativ *-algebra ( body ) H erhålls, från vilken en icke-associativ algebra O erhålls , men alternativ och normaliserad, så att utan nolldelare. Ytterligare algebror kommer att ha nolldelare, eftersom multiplikation inte längre kommer att vara kompatibel med normen.

Applikationer

Komplexa tal

Cayley-Dixon-proceduren motsvarar definitionen av komplexa tal som ordnade par av reella tal.

Quaternions

En godtycklig quaternion kan representeras som eller, ekvivalent, där är komplexa tal , eftersom det gäller för både komplexa tal och quaternions, och . $\q=a+bi+cj+dk$ $\ q=(a+bi)+(c+di)j$ $\ q=z_{1}+z_{2}\cdot j,\quad z_{1}=a+b\cdot i,\quad z_{2}=c+d\cdot i,$ $\z_{1},z_{2}$ $\ i^{2}=-1$ $k=i\cdot j$

Låt oss ta en kvartjon till Om vi multiplicerar och utökar parenteserna (eftersom multiplikationen av kvartjoner är associativ ), får vi: $\ r=w_{1}+w_{2}j.$

\ qr=(z_{1}+z_{2}j)(w_{1}+w_{2}j)=z_{1}w_{1}+z_{1}w_{2}j+ z_ {2}jw_{1}+z_{2}jw_{2}j.

Sedan dess, om vi ordnar om faktorerna , får vi: $\zj=j{\bar {z)),\;zw=wz,$ $\ qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2))}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar { w_{1}}})j.$

Därför kan kvaternioner definieras som uttryck av formen , som uppfyller multiplikationsformeln ovan. Den här formeln är intressant eftersom den utökar multiplikationsformeln för rent komplexa tal (dvs. kvaternioner med ). $\z_{1}+z_{2}\cdot j$ $z_{2}=w_{2}=0$

Generaliseringar

De tidigare formlerna bygger hyperkomplexa system när den " imaginära förlängningsenheten" har en kvadrat lika med " −1 ". Men när man skapar par kan kvadraten på den nya "imaginära enheten" tas [3] som "+1" eller till och med "0" och även den (utvidgade) lagen för parmultiplikation kan ändras (se Clifford algebra ). Sant, då behöver normen och konjugationerna (av olika slag) byggas svårare, och icke-triviala nolldelare kan också uppstå.

Anteckningar

↑ Kantor I. L., Solodovnikov A. S. Hyperkomplexa tal . - Moskva: Nauka , 1973. - S. 33-34. — 144 sid. (ryska)
↑ Schafer, Richard D. (1995), An introduction to non-associative algebras , Dover Publications , ISBN 0-486-68813-5 , < https://archive.org/details/introductiontono0000scha >
↑ Albert, Abraham Adrian . Kvadratiska former som tillåter sammansättning. Annals of Mathematics. Andra serien, vol. 43, sid. 161–177

Länkar

Dickson, L.E. (1919), On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem , Annals of Mathematics , Second Series (Annals of Mathematics). — T. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1967865
HyperJeff skissar historien om hyperkomplexa tal 1996–2006
I.L. Kantor, A.S. Solodovnikov. hyperkomplexa tal. - Moskva, "Nauka". — 1973.
E.A. Karataev "Hyperkomplexa siffror. klassificerare"

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion