Övernaturliga siffror

Övernaturliga tal (kallas ibland även generaliserade naturliga tal eller Steinitz- tal ) är en generalisering av de naturliga talen . Ett övernaturligt tal är en formell produkt : $\omega$

\omega =\prod _{p}p^{n_{p)),

där kan vara vilket primtal som helst , och vart och ett är antingen ett naturligt tal eller oändlighet . Ibland skrivet för att beteckna . Om villkoret inte är uppfyllt och det bara finns ett ändligt antal ettor som inte är noll får vi den naturliga standardserien. Övernaturliga tal låter dig utöka intervallet av naturliga tal genom att använda möjligheten av ett oändligt antal primtalsfaktorer, och tillåta ett givet primtal att dela talet "oändligt" genom att sätta exponenten lika med oändlighet. $sid$ $n_{p}$ $v_{p}(\omega )$ $n_{p}$ $n_{p}=\infty$ $n_{p}$ $\omega$

Det finns inget naturligt sätt att definiera addition på mängden övernaturliga tal, men de kan multipliceras: . På samma sätt sträcker sig begreppet delbarhet till dem om för alla . Man kan också introducera begreppen minsta gemensamma multipel och största gemensamma divisor för övernaturliga tal genom att definiera $\prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{ p}}$ ${\displaystyle \omega _{1}\mid \omega _{2))$ $v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})$ $sid$

\displaystyle \operatörsnamn {lcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i})) }

\displaystyle \operatörsnamn {gcd} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i})) }

Genom att använda dessa algoritmer kan man både få den minsta gemensamma multipeln och den största gemensamma divisorn för ett oändligt antal naturliga tal, och utföra en liknande procedur för övernaturliga tal.

Vanliga p-adiska funktioner kan utökas till övernaturliga tal genom att definiera för varje . ${\displaystyle v_{p}(\omega )=n_{p))$ $sid$

Övernaturliga tal används för att bestämma ordningarna och indexen för profinita grupper ; detta gjorde det möjligt att generalisera många satser om finita grupper till profinita grupper .

Länkar

Planet Math: Övernaturligt tal

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion