Ordningstal

I mängdlära är ett ordningstal , eller ordningsföljd ( latin ordinalis - ordningsföljd) ordningstypen för en helt ordnad mängd . Som regel identifieras ordningstal med ärftligt transitiva mängder . Ordinaltal är en av de naturliga talens förlängningar , som skiljer sig från både heltal och kardinaler . Liksom andra typer av tal kan de adderas, multipliceras och höjas till en potens. Oändliga ordningstal kallas transfinita ( lat. trans - för, genom + finito - kant, gräns). Ordinaler spelar en nyckelroll för att bevisa många satser inom mängdteorin , särskilt på grund av den relaterade principen om transfinit induktion .

Ordningstal introducerades av Georg Cantor 1883 som ett sätt att beskriva oändliga sekvenser, samt klassificera mängder som har en viss ordnad struktur. [1] Han upptäckte av misstag ordningstal när han arbetade med ett problem som involverade trigonometriska serier .

Mängder och har samma kardinalitet om det är möjligt att upprätta en bijektiv överensstämmelse mellan dem (det vill säga ange en funktion som är både injektiv och surjektiv : var och en av motsvarar den enda av , och var och en av är bilden av den enda av ). $S$ $S'$ $f$ $x$ $S$ $y = f(x)$ $S'$ $y$ $S'$ $x$ $S$

Antag att uppsättningarna och ges delordningar och resp. Sedan delvis ordnade mängder och sägs vara ordningsbevarande isomorfa om det finns en bijektiv karta så att den givna ordningen bevaras. Med andra ord, om och bara om . Varje välordnad mängd är ordningsbevarande isomorf med avseende på en naturligt ordnad uppsättning ordningstal mindre än någon bestämd ordningsföljd (lika med ordningstypen ). $S$ $S'$ $<$ $<'$ $(S,<)$ $(S',<')$ $f$ $f(a)<'f(b)$ $a<b$ $(S,<)$ $(S,<)$

Finita ordningstal (och kardinaltal) är nummer i den naturliga serien: 0, 1, 2, ..., eftersom två fullständiga ordningsföljder av en ändlig mängd är isomorfa med bevarande av ordningen . Det minsta oändligt stora ordningsnumret identifieras med kardinalnumret . Men i fallet med transfinita tal större än , ordningstal – jämfört med kardinaltal – tillåter oss att uttrycka en finare klassificering av mängder baserat på information om deras ordning. Medan alla räknebara uppsättningar beskrivs av ett kardinaltal lika med , är antalet räknebara ordinaler oändligt stort och dessutom oräkneligt: $\omega$ $\aleph_0$ $\omega$ $\aleph_0$

\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{ 3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega )),\dots ,\varepsilon _{0},...

I det här fallet har addition och multiplikation inte kommutativitetsegenskapen: den sammanfaller till exempel med men skiljer sig från ; liknande men inte samma . Mängden av alla räknebara ordningstal bildar det första oräkneliga ordningsnumret som motsvarar kardinalnumret (nästa tal efter ). Välordnade kardinalnummer identifieras med sina initiala ordinaler , det vill säga de minimala ordinalerna för motsvarande kardinalitet . Potensen för ett ordningsnummer definierar en överensstämmelse mellan många och ett mellan klasserna av ordningstal och kardinaltal. $1+\omega$ $\omega$ $\omega +1$ $2\cdot \omega =\omega$ $\omega \cdot 2$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Vanligtvis definieras en godtycklig ordningsföljd som ordningstypen för uppsättningen av ordningstal strikt mindre än . Denna egenskap tillåter oss att representera vilket ordningstal som helst som en uppsättning ordningstal strikt mindre än sig själv. Alla ordningstal kan delas upp i tre kategorier: noll, nästa ordningsföljd och gränsordningstal (de sistnämnda kännetecknas av sin konfinalitet ). För en given klass av ordningstal kan du ange dess :e element - med andra ord kan klassens element indexeras (räknas). En sådan klass kommer att vara stängd och obegränsad förutsatt att indexeringsfunktionen är kontinuerlig och aldrig slutar. Cantors normala form gör det möjligt att unikt representera vilket ordningstal som helst som en ändlig summa av ordningskrafter . Denna form kan dock inte användas som grund för ett universellt ordningsnotationssystem på grund av närvaron av självrefererande representationer i det: till exempel . Du kan definiera allt större ordningstal, men när de växer blir deras beskrivning mer komplicerad. Varje ordningstal kan representeras som ett topologiskt utrymme genom att tillskriva en ordningstopologi till det . En sådan topologi kommer att vara diskret om och endast om den motsvarande ordinalen inte överstiger ett räknebart kardinaltal, det vill säga är mindre än eller lika med . En delmängd kommer att vara öppen i ordningstopologin om och endast om den är kofinit eller inte innehåller som ett element. $\alfa$ $\alfa$ $\alfa$ $\omega$ $\varepsilon _{0}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}}$ $\omega$ $\omega +1$ $\omega$

Ordningstal som en förlängning av mängden naturliga tal

Naturliga tal (som inkluderar 0 i det här fallet ) har två huvudsakliga användningsområden: att beskriva storleken på en mängd och att beskriva positionen för ett element i en given sekvens. När det gäller ändliga mängder sammanfaller dessa begrepp; upp till isomorfism finns det bara ett sätt att ordna elementen i en ändlig mängd som en sekvens. När det gäller oändliga mängder är det nödvändigt att skilja begreppet storlek och de kardinaltal som är förknippade med det från begreppet position, vars generalisering är de ordningstal som beskrivs i den här artikeln. Detta förklaras av det faktum att en oändlig mängd, som har en unikt definierad storlek ( kardinalitet ), väl kan ordnas på mer än ett icke-isomorft sätt.

Även om begreppet ett kardinaltal associerat med en mängd inte kräver att någon struktur specificeras på det, är ordningstal nära besläktade med en speciell sorts mängd som kallas välordnad (i själva verket är dessa begrepp så nära att vissa matematiker inte gör det göra någon skillnad mellan dem). Termen hänvisar till en linjärt ordnad mängd (det vill säga en mängd med något enhetligt sätt att välja det minsta och största värdet för ett godtyckligt par av element) där det inte finns några oändligt minskande sekvenser (även om det kan finnas oändligt ökande sådana), eller, i en likvärdig formulering, en uppsättning där en icke-tom delmängd innehåller det minsta elementet. Ordningstal kan användas både för att beteckna elementen i en given välordnad mängd (det minsta elementet är märkt 0, nästa är märkt 1, nästa är 2, "och så vidare"), och för att mäta " storlek" för hela uppsättningen genom att ange den minsta ordningen som inte är etiketten för något element i uppsättningen. Denna "storlek" kallas uppsättningens ordningstyp .

Varje ordningstal definieras av en uppsättning av föregående ordningstal: i själva verket identifierar den vanligaste definitionen av ett ordningstal det med en uppsättning av föregående ordningstal. Således är ordningen 42 ordningens typ av uppsättningen av föregående ordningstal, det vill säga ordningen från 0 (den minsta ordningen) till 41 (den omedelbara föregångaren till 42), och identifieras vanligtvis med mängden . Det omvända är också sant: varje nedåtstängd uppsättning av ordningstal — det vill säga sådan att, för vilken ordningsföljd som helst och vilken som helst, ordningen också är ett element — är i sig själv en ordningstal (eller kan identifieras med en). $\{0,\,1,\,2,\ldots ,\,41\}$ $S$ $\alfa \i S$ $\beta <\alpha$ $\beta$ $S$

Fram till denna punkt har vi bara nämnt ändliga ordinaler, som är samma som naturliga tal. Utöver dem finns det också oändliga ordinaler: den minsta bland dem är ordningstypen av naturliga tal (ändliga ordningstal) , som till och med kan identifieras med själva mängden naturliga tal (i själva verket: mängden naturliga tal är nedåtstängd och, precis som alla ordningstal, är helt ordnade, - därför kan den identifieras med motsvarande ordningsnummer, som exakt motsvarar definitionen av ). $\omega$ $\omega$

Kanske kan en mer intuitiv uppfattning om ordningstal erhållas genom att överväga några av deras första representanter: som nämnts ovan börjar uppsättningen av ordningstal med naturliga tal. Efter alla naturliga tal finns det den första oändliga ordningen , följt av , , , och så vidare. (Den exakta innebörden av addition kommer att definieras senare, så betrakta denna notation som en enkel notation) Efter alla sådana tal är (dvs. ), , , och så vidare, sedan , och efter det - . Vidare måste den uppsättning ordningstal som kan skrivas som , där och är naturliga tal, också ha ett motsvarande ordningstal: ett sådant tal kommer att vara . Det kommer att följas av , ,..., , sedan - mycket senare - ( "epsilon-noll" ) (de angivna exemplen ger en uppfattning om relativt små räknande ordinaler). Denna process kan fortsätta på obestämd tid. Den minsta oräkneliga ordinalen är mängden av alla räknebara ordinaler och betecknas med . $0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\ldots$ $\omega$ $\omega +1$ $\omega +2$ $\omega +3$ $\omega \cdot 2$ $\omega +\omega$ $\omega \cdot 2 + 1$ $\omega \cdot 2+2$ $\omega \cdot 3$ $\omega \cdot 4$ $\omega \cdot m+n$ $m$ $n$ $\omega ^{2}$ $\omega ^{3}$ $\omega ^{4}$ $\omega^\omega$ $\omega ^{{\omega ^{2}}}$ $\varepsilon_{0}$ $\omega_{1}$

Definitioner

Små grekiska bokstäver används vanligtvis för att beteckna ordningstal . Den här artikeln följer en sådan notation. $\alfa ,\beta ,\prickar$

Välordnade set

Varje icke-tom delmängd av en välordnad uppsättning innehåller det minsta elementet. Med förbehåll för axiomet beroende val, motsvarar detta att säga att mängden är linjärt ordnad och inte innehåller oändligt minskande sekvenser - den senare formuleringen är förmodligen lättare att visualisera. I praktiken förklaras vikten av begreppet välordnad av möjligheten att använda transfinit induktion , vars huvudidé är att varje egenskap som går från föregångarna till ett element till sig själv måste uppfyllas för alla element ( ingår i en given välordnad uppsättning). Om beräkningstillstånden (för ett datorprogram eller spel) kan ordnas helt så att varje efterföljande steg är "mindre" än det föregående, så är beräkningsprocessen garanterat slutförd.

Vidare vill vi inte skilja mellan två välordnade uppsättningar om de skiljer sig endast i "märkningen av deras element", eller, mer formellt, om elementen i den första uppsättningen kan relateras till elementen i den andra i en sådan ett sätt att i ett godtyckligt par av element i en uppsättning är den första mindre än den andra om och endast om samma relation gäller mellan deras respektive partners från den andra uppsättningen. En sådan en-till-en-överensstämmelse kallas en ordningsbevarande isomorfism , och två välordnade uppsättningar kallas ordningsbevarande isomorf, eller liknande (en sådan likhet är uppenbarligen en ekvivalensrelation ). Om två välordnade uppsättningar är isomorfa med bevarande av ordning, så är motsvarande isomorfism unik: denna omständighet gör det möjligt för oss att uppfatta de nämnda uppsättningarna som praktiskt taget identiska och fungerar som grund för att söka efter en "kanonisk" representation av isomorfismtyper (klasser) ). Ordningstal spelar inte bara rollen som en sådan representation, utan ger oss också en kanonisk märkning av elementen i vilken välordnad uppsättning som helst.

Med andra ord vill vi introducera begreppet en ordinal som en klass av isomorfismer av välordnade mängder, d.v.s. en ekvivalensklass baserad på relationen "ordningsbevarande isomorfism". Med detta tillvägagångssätt finns det emellertid en teknisk svårighet: ekvivalensklassen som definieras på detta sätt visar sig vara för stor för att passa in under definitionen av en mängd i termer av standard Zermelo-Fraenkel- formaliseringen av mängdteorin . Denna komplexitet skapar dock inga allvarliga problem. Vi kommer att kalla en ordinal för ordinaltypen av en godtycklig mängd i en sådan klass.

Definition av ordningstal som ekvivalensklasser

I den ursprungliga definitionen av ett ordningstal, som till exempel kan hittas i Principia Mathematica , förstås ordningstypen för någon brunnsordning vara mängden av alla brunnsordningar som liknar den (isomorfisk med bevarande av ordningen ): med andra ord, ordningsnumret är verkligen en ekvivalensklass välordnade mängder. I ZFC- teori och relaterade axiomatiska system för mängdteori är en sådan definition oacceptabel, eftersom motsvarande ekvivalensklasser är för stora för att betraktas som mängder. Denna definition kan dock användas i typteori och Quines axiomatiska mängdteori ( New Foundations ), liksom andra liknande system (där den tillåter oss att formulera ett alternativt och ganska oväntat sätt att lösa Burali-Forti-paradoxen om den största ordningstal).

Definition av ordningstal enligt von Neumann

Istället för att definiera en ordinal som en ekvivalensklass av välordnade mängder, kommer vi att identifiera den med en konkret mängd som fungerar som den kanoniska representationen av denna klass. Således kommer en ordningsföljd att vara en välordnad uppsättning, och varje välordnad uppsättning kommer att vara som exakt ett ordningstal.

Standarddefinitionen som föreslagits av von Neumann är följande: vilken ordningsföljd som helst är en välordnad uppsättning som består av alla ordningstal mindre än den . I symbolisk notation: . [2] [3] I mer formella termer, $\lambda =[0,\lambda )$

En mängd är en ordinal om och endast om den är strikt välordnad av en relation och varje element i S samtidigt är dess delmängd.

S

\i

Observera att, enligt denna definition, är naturliga tal ordningstalen. Så, 2 tillhör 4 = {0, 1, 2, 3} och är samtidigt lika med {0, 1}, det vill säga det är en delmängd av {0, 1, 2, 3}.

Genom transfinit induktion kan man visa att vilken välordnad mängd som helst är som exakt en ordinal – man kan med andra ord upprätta en ordningsbevarande bijektiv överensstämmelse mellan dem.

Dessutom är elementen i varje ordinal i sig själv ordtal. Om och är godtyckliga ordtal, så hör det till om och endast om det är en riktig delmängd av . Vidare, för alla ordningstal och en av relationerna är uppfyllda: antingen , eller , eller . Sålunda har varje uppsättning ordningstal en linjär ordning och är dessutom välordnad. Detta resultat är en generalisering av de välordnade naturliga talen. $S$ $T$ $S$ $T$ $S$ $T$ $S$ $T$ $S\in T$ $T\i S$ $S=T$

Detta innebär att elementen i en godtycklig ordinal exakt sammanfaller med ordtal strikt mindre än . Varje uppsättning ordningstal har till exempel ett supremum , vilket är en ordningstal lika med unionen av alla ordningstal som finns i den givna mängden. I kraft av unionsakxiomet existerar alltid en sådan ordinal , oavsett storleken på originalmängden. $S$ $S$

Klassen för alla ordningstal är inte en mängd. Annars skulle det vara möjligt att bevisa att en sådan mängd i sig är ett ordningstal och därmed sitt eget element, vilket motsäger den strikta -ordningen. Detta uttalande kallas Burali-Forti-paradoxen . Klassen av ordningstal betecknas på olika sätt: "Ord", "ON" eller "∞". $\i$

Ett ordningstal är ändligt om och endast om det är helt ordnat, inte bara efter den naturliga ordningen, utan också efter den motsatta ordningen - detta villkor är uppfyllt om och endast om var och en av dess delmängder innehåller det största elementet.

Andra definitioner

I modern matematik finns det andra tillvägagångssätt för definitionen av ordningstal. Så, under axiom regelbundenhet, är följande uttalanden om mängden x ekvivalenta:

x är ett ordningstal,
x är en transitiv mängd med en trikotomirelation $\i$
x är en transitiv mängd linjärt ordnad av relationen . För en uppsättning definierar vi en tvåplatsrelation som består av par så att eller . En mängd kallas transitiv om den följer av . En mängd kallas en ordinal om den är transitiv och är en välordnad mängd. [fyra] $\subseteq$ $X$ $\epsilon(X)$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle \in X^{2))$ $a\in b$ $a=b$ $X$ $b\in X$ $b\subseteq X$ $\alfa$ $\langle \alpha ,\epsilon (\alpha )\rangle$
x är en transitiv mängd vars element också är transitiva mängder.

De uppräknade definitionerna är otillämpliga i mängdteorier utan grundaxiom . I teorier med urelement måste definitionerna förtydligas, eftersom urelement är bland elementen i ett ordningsnummer.

Transfinit sekvens

Om är en limitordinal , och är en uppsättning, då är en indexerad sekvens av element en funktion från till . Introducerad på detta sätt, är definitionen av en transfinit sekvens, eller en sekvens indexerad med ordinals , en generalisering av begreppet en sekvens . Den vanliga sekvensen motsvarar fallet . $\alfa$ $X$ $\alfa$ $X$ $\alfa$ $X$ $\alfa=\omega$

Egenskaper

Om är ett ordningstal, då är varje element ett ordningstal. $\alfa$ $\alfa$
För varje , gäller exakt en av följande relationer: $\alfa ,\beta$ $\alpha \in \beta ,\alpha =\beta ,\beta \in \alpha .$
Varje uppsättning ordningstal är välordnad efter relationen (i synnerhet alla ordningstal som betraktas som en mängd är välordnad av relationen ), och är det minsta elementet i mängden , är en ordningstal större än eller lika med någon av delar av uppsättningen . Uttrycken och för ordningstal är ekvivalenta. Följande antar att ordningstal jämförs med hjälp av relationen $\i$ $\i$ $\bigcap x$ $x$ $\bigcup x$ $x$ $\alfa <\beta$ $\alfa \in \beta$ $\i .$
För varje välordnad uppsättning finns det en unik ordinal isomorf (i synnerhet för alla uppsättningar ordinaler finns det en unik ordinal isomorf). $x$ $x$
Alla sammanfaller med mängden av alla ordningstal mindre än . $\alfa$ $\alfa$
Det initiala segmentet av ett ordningstal är ett ordningstal.
Den tomma mängden är det minsta ordningstalet (vilket betyder att det är ett element i vilket annat ordningsnummer som helst). $\varnothing$
$\alfa$ kallas obegränsad om antingen det är lika med , eller det finns ett omedelbart före det , med andra ord, om det finns men ett annat ordningstal inte kan infogas mellan dem. I det senare fallet säger de att det är ett ordningsnummer som följer , och skriv: för summan av ordningstal). $\varnothing$ $\beta ;$ $\beta<\alpha ,$ $\beta <\gamma <\alpha .$ $\alfa$ $\beta$ $\alpha =\beta {\dot +}1$ $\alpha=\beta+1,$
Ordningstal som inte är icke-begränsande kallas limitordinaltal (ibland även kallade limitordinaltal) . $\varnothing$
$\alpha {\dot +}1=\alpha \cup \{\alpha \}.$
Mängden av alla finita ordningstal är isomorfisk mot mängden icke-negativa heltal , och samma notation används för dem som för heltal. I detta fall överförs operationerna addition, multiplikation och exponentiering för ordningstal till motsvarande operationer för heltal. Flera första ordningstal:

{\begin{aligned}&0=\varnothing ;\\&1=\{0\}=0\cup \{0\}=\{\varnothing \};\\&2=\{0,1\}=1 \kopp \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\};\\&3=\{0,1,2\}=2\kopp \{2\}=\{\varnothing , \{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\};\\&\dots \end{aligned))

Mängden av alla ändliga ordningstal betecknas Det är det minsta gränsvärdetalet och det minsta oändliga (nämligen det räknarbara ) ordningstalet. Nästa serienummer är $\omega.$ $\omega {\dot +}1=\omega \cup \{\omega \}.$
Det finita villkoret kan skrivas som eller, vilket är detsamma, $\alfa$ $\alfa <\omega$ $\alpha \in \omega .$
Det finns en oändlig uppsättning ordningstal, men det finns ingen uppsättning av alla ordningstal. Med andra ord är helheten av alla ordningstal en riktig klass .
Varje uppsättning ordningstal är avgränsad uppifrån och har den minsta övre gränsen , som betecknas med $A$ $\sup A.$ $A\subseteq \sup A.$
Om är det begränsande ordningstalet eller , då annars $\alfa$ $\varnothing$ $\up \alpha =\alpha ,$ $\up \alpha <\alpha .$
Den minsta övre gränsen för en räknebar uppsättning av räknebara ordningstal är räknebar [5] .
Varje ordningsföljd α har en unik representation i Cantor normalform , där , , och är ordningstal. Formuläret låter dig hitta expansioner som följande: $\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_ {k}$ $k\in {\mathbb {N}}$ $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}\in \mathbb {N}$ $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ $\omega ^{\left(\omega ^{\left(\omega ^{7}\cdot 6+\omega +42\right)}\cdot 1729+\omega ^{9}+88\right) }\cdot 3+\omega ^{\left(\omega ^{\omega}\right)}\cdot 5+65537$

Ordinal aritmetik

Operationsdefinitioner

Summan av ordningstal definieras rekursivt enligt följande:

{\begin{aligned}&\alpha +0=\alpha \\&\alpha +(\beta {\dot {+}}1)=(\alpha +\beta ){\dot {+}} 1\\&\alpha +\gamma =\sup\{\alpha +\beta \mid \beta <\gamma \},\end{aligned))

där den tredje regeln gäller när är det begränsande ordningstalet .

\gamma

Med samma notation definierar vi multiplikationsoperationen:

{\begin{aligned}&\alpha \cdot 0=0\\&\alpha \cdot (\beta {\dot +}1)=\alpha \cdot \beta +\alpha \\&\alpha \cdot \gamma =\sup\{\alpha \cdot \beta \mid \beta <\gamma \}.\end{aligned}}

Med samma notation definierar vi exponentieringsoperationen:

{\begin{aligned}&\alpha ^{0}=1\\&\alpha ^{{\beta {\dot +}1}}=\alpha ^{\beta}\cdot \alpha \\&\alpha ^{\gamma }=\sup\{\alpha ^{\beta }\mid \beta <\gamma \}.\end{aligned))

Funktionsegenskaper

Ordinal addition är icke-kommutativ; särskilt, $1+\omega =\omega \neq \omega +1.$
Tillägget av ordningstal är associativt: vilket gör att du kan skriva summan av flera termer utan parentes. $\alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma ,$
Summan ökar med tillväxten av den högra termen och minskar inte med tillväxten av den vänstra termen: den följer av och ${\displaystyle \beta _{1}>\beta _{2))$ ${\displaystyle \alpha +\beta _{1}>\alpha +\beta _{2))$ $\beta _{1}+\alpha \geqslant \beta _{2}+\alpha .$
Om då det finns en unik ordningsföljd för vilken $\alpha \geqslant \beta ,$ $\gamma$ $\beta +\gamma =\alpha .$
Multiplikation av ordningstal är icke-kommutativ; särskilt, $2\cdot \omega =\omega \neq \omega \cdot 2.$
Multiplikation av ordningstal är associativ: vilket gör att du kan skriva produkten av flera faktorer utan parentes. $\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma )=(\alpha \cdot \beta )\cdot \gamma ,$
Addition och multiplikation är vänsterdistributiv: $\alpha \cdot (\beta +\gamma )=\alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma .$
$\alpha +0=0+\alpha =\alpha .$
$\alpha +1=\alpha {\dot +}1.$
$\alpha \in \omega \leftrightarrow \alpha +\omega =\omega .$
$\alpha \cdot 0=0\cdot \alpha =0.$
$\alpha \cdot 1=1\cdot \alpha =\alpha .$
$\alpha \in \omega \land \alpha \neq 0\leftrightarrow \alpha \cdot \omega =\omega .$
$\alpha +\beta =0\vänsterhögerpil \alpha =0\land \beta =0.$
$\alpha \cdot \beta =0\vänsterhögerpil \alpha =0\eller \beta =0.$
$\alpha ^{0}=1.$
$\alpha ^{1}=\alpha .$
$\alpha \neq 0\leftrightarrow 0^{\alpha }=0.$
$1^{\alpha }=1.$
$\alpha \in \omega \land \alpha >1\leftrightarrow \alpha ^{\omega }=\omega .$
$\alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^({\beta +\gamma }}).$
$(\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^({\beta \cdot \gamma }}).$
$\alpha >1\land \beta >\gamma \leftrightarrow \alpha ^{\beta }>\alpha ^{\gamma }.$
$\beta \in \omega \to \alpha +\beta =\alpha \underbrace {{\dot +}1{\dot +}1{\dot +}\dots {\dot +}1}_{\beta } .$
$\beta \in \omega \to \alpha \cdot \beta =0\underbrace {+\alpha +\alpha +\dots +\alpha }_{\beta }.$
$\beta \in \omega \to \alpha ^{\beta }=1\underbrace {\cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \dots \cdot \alpha }_{\beta }.$
När det gäller finita argument går addition, multiplikation och exponentiering in i motsvarande operationer för heltal (med slutresultat).
När det gäller räknebara argument är resultaten av addition, multiplikation och exponentiering också räknebara.

Se även

Kardinalnummer

Anteckningar

↑ En mer detaljerad beskrivning gavs av Levy (1979) och Yeh (2003).
↑ von Neumann, 1923
↑ Enligt Levy (1979, s. 52) går denna idé tillbaka till ett opublicerat verk av Zermelo (1916), såväl som flera artiklar skrivna av von Neumann på 1920-talet.
↑ Ershov, 1987 , sid. 84.
↑ N. K. Vereshchagin, A. Shen. Början av mängdlära . - 3:a. - M . : MTSNMO, 2008. - S. 96. Arkivkopia daterad 20 oktober 2019 på Wayback Machine

Litteratur

Ershov Yu.L. , Palyutin E.A. Matematisk logik. — M .: Nauka, 1987. — 336 sid.
Cantor, Georg (1883), Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5. , Mathematische Annalen vol. 21 (4): 545–591, doi : 10.1007 / bf01446819 , . Publiceras separat som: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre .
Cantor, Georg (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II , Mathematische Annalen vol. 49 (2): 207–246 , ,BF01444205/10.1007:doi .
Conway, John H. & Guy, Richard (2012), Cantor's Ordinal Numbers , The Book of Numbers , Springer, sid. 266–7, 274, ISBN 978-1-4612-4072-3
Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite , Harvard University Press , ISBN 0-674-34871-0
Ewald, William B., red. (1996), Från Immanuel Kant till David Hilbert : A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volym 2 , Oxford University Press , ISBN 0-19-850536-1
Ferreirós, José (1995), "What fermented in me for years": Cantor's discovery of transfinite numbers , Historia Mathematica vol . 22: 33–42, doi : 10.1006/hmat.1995.1003 , < http://www.sciencedirect.com /science/article/pii/S0315086085710038 > Arkiverad 11 april 2019 på Wayback Machine
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought (2nd revided ed.), Birkhäuser , ISBN 3-7643-8349-6
Hallett, Michael (1986), Cantorian Set Theory and Limitation of Size , Oxford University Press, ISBN 0-19-853283-0
Hamilton, A.G. (1982), 6. Ordinal- och kardinaltal, tal, mängder och axiom: the Apparatus of Mathematics , New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-24509-5
Kanamori, A. , Set Theory from Cantor to Cohen , i Irvine, Andrew & Woods, John H., The Handbook of the Philosophy of Science , vol. 4 Mathematics, Cambridge University Press Arkiverad 4 april 2012 på Wayback Machine — Att visas.
Levy, A. (2002), Basic Set Theory , Springer-Verlag , ISBN 0-486-42079-5
Jech, Thomas (2013), Set Theory (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-662-22400-7 , < https://books.google.com/books?id=GHjmCAAAQBAJ >
Sierpiński, W. (1965), Cardinal and Ordinal Numbers (2:a upplagan), Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe Definierar också ordinaloperationer i termer av Cantor Normal Form.
Suppes, P. (1960), Axiomatic Set Theory , D. Van Nostrand, ISBN 0-486-61630-4
Tait, William W. (1997), Frege versus Cantor och Dedekind: On the Concept of Number , i William W. Tait, Early Analytic Philosophy: Frege, Russell, Wittgenstein , Open Court, sid. 213–248, ISBN 0-8126-9344-2 Arkiverad 24 oktober 2018 på Wayback Machine
von Neumann, Johann (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum vol. 1: 199–208 , < http: //acta.fyx/showCustomeraArt.hutomactera .action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style= > Arkiverad 18 december 2014 på Wayback Machine
von Neumann, John (januari 2002), On the introduction of transfinite numbers , i Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 (3rd ed.), Harvard University Press, sid. 346–354, ISBN 0-674-32449-8 , < http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=9780674324497 > Arkiverad 20 augusti 2017 på Wayback Machine - engelsk översättning av von Neumann , 1923

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion