Axiom för beroende val

Axiomet för beroende val är en av försvagningarna av valets axiom . Betecknas vanligtvis som . Axiomet för beroende val följer av det fullständiga valets axiom och medför axiomet för det räknebara valet , alltså i . $\mathbf {DC}$ $\mathbf {ZF}$ $\mathbf {AC} _{\omega }<\mathbf {DC} <\mathbf {AC}$

Påstående: om en godtycklig icke-tom uppsättning med en vänster-komplett relation ges (relationen kallas vänster-komplett om det finns någon , att ), så finns det en sekvens av element så att [1] : $X$ $R$ $R$ $x$ $y$ $xRy$ $x_{n}$ $X$

\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Rx_{n+1}

Följande påståenden är ekvivalenta i axiomet för beroende val: Baers kategorisats [2] ; Löwenheim-Skolems sats [3] [4] ; Zorns lemma för ändliga kedjor . Zorn-lemmat för ändliga kedjor har två likvärdiga formuleringar: $\mathbf {ZF}$

om i en delvis ordnad uppsättning alla kedjor är ändliga, så har uppsättningen ett maximalt element. [1] ;
om i en delvis ordnad uppsättning alla välordnade kedjor är ändliga, så har uppsättningen ett maximalt element. [5]

(Även om den andra formuleringen är starkare än den första, är de likvärdiga i .) $\mathbf {ZF}$

Generaliseringar

Axiom för beroende val för transfinita sekvenser: om vi i formuleringen av axiom för beroende val tillåter inte bara räknebara sekvenser utan även transfinita, kan vi få en förstärkning av detta axiom.

Låt vara lite ordinarie. Funktionen kallas en transfinit sekvens av typ . Beteckna med uppsättningen av alla sekvenser av typen mindre än . Det beroende valets axiom för transfinita sekvenser är formulerat för en viss initial ordinal och betecknas som . $\gamma$ $x_{\alpha }\colon \gamma \to X$ $\gamma$ ${\displaystyle S_{\gamma ))$ $\gamma$ $\lambda$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$

Låt en icke-tom mängd och vänster fullständig binär relation ges . Påstår sedan att det finns en transfinit sekvens av typ sådan att [5] . $X$ $R\subset S_{\gamma }\ gånger X$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$ $\{a_{n}\}_{n\in \lambda }$ $\lambda$ $\forall \mu <\lambda \colon \{a_{n}\}_{n\in \mu }Ra_{\mu }$

Axiomet motsvarar . Generaliseringar för stora ordtal är strikt starkare än det, men svagare än det fulla valets axiom: . Uppfyllelsen för alla initiala ordinaler motsvarar det kompletta valets axiom: [6] . ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\omega ))$ $\mathbf {DC}$ $\mathbf {DC} <\mathbf {DC} _{\omega _{1}}<\mathbf {DC} _{\omega _{2}}<\ldots <\mathbf {AC}$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$ $(\forall \lambda \colon \mathbf {DC} _{\lambda })\Leftrightarrow \mathbf {AC}$

För axiomen finns motsvarande motsvarande försvagningar av Zorns lemma: ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$

om i ett partiellt beställt set alla kedjor är helt ordnade, har en ordertyp mindre än och har en övre gräns, då har setet ett maximalt element [5] ; $\lambda$
om i ett partiellt beställt set varje välordnad kedja har en ordertyp som är mindre än och har en övre gräns, så har uppsättningen ett maximalt element [5] . $\lambda$

Anteckningar

↑ 12 Wolk , 1983 , sid. 365.
↑ Blair, 1977 .
↑ Moore, 1982 , sid. 325.
↑ Boolos, 1989 , sid. 155.
↑ 1 2 3 4 Wolk, 1983 , sid. 366.
↑ Wolk, 1983 , sid. 367.

Litteratur

Wolk Elliot S. Om principen om beroende val och vissa former av Zorns lemma (engelska) // Canadian Mathematical Bulletin : journal. - 1983. - Vol. 26 , nr. 3 . — S. 365–367 . - doi : 10.4153/CMB-1983-062-5 .
Blair Charles E. Baires kategorisats antyder principen om beroende val // Bull. Acad. Polon. sci. Ser. sci. Matematik. Astron. Phys. : tidning. - 1977. - T. 25 , nr 10 . — S. 933–934 .
Moore Gregory H. Zermelos Axiom of Choice: Dess ursprung, utveckling och inflytande. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90670-3 .
Boolos George S., Jeffrey Richard C. Beräkningsbarhet och logik. — 3:a. - Cambridge University Press, 1989. - ISBN 0-521-38026-X .