Linjärt beställt set

En linjärt ordnad uppsättning ( kedja ) är en partiellt ordnad uppsättning där vilket par av element som helst är jämförbara, det vill säga för vilka två element som helst och eller äger rum . $a$ $b$ $a\leqslant b$ $b\leqslant a$

Ett av de centrala begreppen i ordningsteorin ; spelar en viktig roll i allmän algebra , i synnerhet, ordnade grupper , ordnade ringar , ordnade fält studeras särskilt . Det viktigaste specialfallet med linjärt ordnade uppsättningar är fullständigt ordnade uppsättningar .

Relaterade definitioner

En sektion av en linjärt ordnad mängd är en uppdelning av den i två delmängder och så att , och för alla och : . Klasserna och kallas lägre respektive övre snittklasser. $P$ $A$ $B$ $A\kopp B=P$ $A\cap B=\varnothing$ $a\i A$ $b\i B$ $a\leqslant b$ $A$ $B$

Följande typer av sektioner särskiljs:

hoppa — den lägre klassen har det största elementet, och överklassen har det minsta;
Dedekind cut — det finns inget minsta element i överklassen eller det finns inget största element i underklassen, men inte båda;
gap — underklassen har inte det största inslaget, och överklassen har inte det minsta.

En linjärt ordnad mängd kallas kontinuerlig om alla dess sektioner är Dedekind.

En delmängd av en linjärt ordnad uppsättning kallas tät om varje icke-singletonintervall i uppsättningen innehåller element som tillhör . $D$ $P$ $P$ $D$

Egenskaper

En delmängd av en linjärt ordnad mängd är i sig linjärt ordnad.

Varje maximalt (minimum) element i en linjärt ordnad uppsättning visar sig vara det största (minsta). [ett]

Den linjärt ordnade mängden reella tal kan karakteriseras som en kontinuerlig linjärt ordnad mängd som varken har de största eller minsta elementen, men innehåller en räknebar tät delmängd.

Varje räkningsbar linjärt ordnad uppsättning är isomorf till någon delmängd av segmentet med ordningen ärvd från . $[0, 1]$ $\mathbb {R}$

Ett gitter är isomorft till en delmängd av en linjärt ordnad uppsättning heltal om och endast om vart och ett av dess subgitter är ett tillbakadragande . $L$

Anteckningar

↑ Motsatsen är alltid sant - det största elementet i någon uppsättning är maximum