Urelement

I mängdlära är en gren av matematiken , ett ur-element eller ur-element (från det tyska prefixet ur- , som betyder "original" eller "original") ett objekt (konkret eller abstrakt) som inte är en mängd , men som kan vara en del av en uppsättning. Urelement kallas ibland "atomer".

Teori

Om är ett urelement, är det inte meningsfullt att säga det $U$

X\in U,

men

U\in X

är ett legitimt uttalande.

Urelementet ska inte förväxlas med den tomma uppsättningen - uttalandet

X\in \varnothing

är välformad men falsk.

Denna syn på urelement är baserad på två-typs uppsättningsteori, det vill säga varje uppsättning finns i en domän som innehåller två typer av entiteter, nämligen uppsättningar och urelement. Ett alternativt tillvägagångssätt är att man kan betrakta urelement som separata tomma mängder i en entypsmängdteori. I detta fall måste töjbarhetsaxiomet formuleras och tillämpas med omsorg.

Urelement i mängdteori

Urelements dök först upp i Zermelos mängdteori 1908. Efterföljande forskning avslöjade att, i samband med denna och relaterade axiomatiska mängdteorier, hade urelement lite matematiskt värde. I de kanoniska axiomatiska mängdteorierna ZF och ZFC nämns alltså inte u- element alls. I typteorin kan ett objekt av typ 0 kallas ett urelement, därav namnet "atom".