Frobenius teorem

Frobenius-satsen är en av den allmänna algebras satser . Satsen säger att, under vissa naturliga antaganden ( finit dimensionalitet , se nedan), vilken kropp som helst (i synnerhet ett fält ) som utökar fältet för reella tal : $\mathbb {R}$

eller isomorf till det ursprungliga fältet ; $\mathbb {R}$
eller isomorf till fältet av komplexa tal ; $\mathbb {C}$
eller isomorf till kroppen av quaternions . $\mathbb {H}$

Detta teorem bevisades av FG Frobenius 1877 .

Formulering

Låt vara en kropp som innehåller en kropp av reella tal som en underkropp , och två villkor är uppfyllda: $\mathbb {L}$ $\mathbb {R}$

vilket element som helst pendlar genom multiplikation med reella tal: , ; $x\in {\mathbb L}$ $xa=ax$ $a\in {\mathbb R}$
$\mathbb {L}$ är ett ändligt dimensionellt vektorrum över fältet . $\mathbb {R}$

Det är med andra ord en ändlig dimensionell divisionsalgebra [1] över fältet av reella tal. $\mathbb {L}$

Frobenius-satsen säger att varje sådan kropp : $\mathbb {L}$

eller isomorf till fältet av reella tal, $\mathbb {R}$
antingen isomorft till fältet av komplexa tal , $\mathbb {C}$
eller isomorf till kroppen av quaternions . $\mathbb {H}$

Observera att Frobenius-satsen endast gäller ändliga dimensionella förlängningar av . Till exempel täcker den inte det icke-standardiserade analysfältet för hyperreala tal , som också är en förlängning av , men inte ändlig-dimensionell. Ett annat exempel är algebra för rationella funktioner . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Konsekvenser och anmärkningar

Denna sats är nära besläktad med Hurwitzs sats om normerade verkliga algebror . Normerade divisionsalgebror är endast och (icke-associativa) algebror av Cayley-tal . $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H}$
När vi utökar systemet med komplexa tal förlorar vi oundvikligen alla aritmetiska egenskaper: kommutativitet (kvarternioner), associativitet ( Cayley algebra ), etc.
Det finns ingen analog till quaternion-systemet med två (snarare än tre) quaternion-enheter.
Fälten och är de enda finita dimensionella reella associativa och kommutativa algebrorna utan nolldelare . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Kvaternionkroppen är den enda finita dimensionella verkliga associativa men icke-kommutativa algebra utan nolldelare . $\mathbb {H}$
Cayley-algebra är den enda finita dimensionella reella alternativa icke-associativa algebra utan nolldelare .

De tre sista påståendena bildar den så kallade generaliserade Frobenius-satsen .

Divisionsalgebror över fältet av komplexa tal

En algebra med dimensionen n över fältet av komplexa tal är en algebra med dimensionen 2n över . Kvaternions kropp är inte en algebra över ett fält , eftersom mitten är ett endimensionellt verkligt utrymme. Därför är den enda finita dimensionella divisionalgebra över algebra . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

Frobenius hypotes

Satsen innehåller associativitetsvillkoret. Vad händer om du vägrar detta tillstånd? Frobenius-förmodan säger att även utan associativitetsvillkoret för n som skiljer sig från 1, 2, 4, 8, i det reella linjära rummet R n är det omöjligt att bestämma strukturen för en divisionsalgebra. Frobenius-hypotesen bevisades på 60-talet. XX-talet.

Om för n >1 i rymden Rn definieras bilinjär multiplikation utan nolldelare, så finns det på sfären S n -1 n-1 linjärt oberoende vektorfält [2] . Av resultaten erhållna av Adams på antalet vektorfält på sfären , följer att detta endast är möjligt för sfärerna S 1 , S 3 , S 7 . Detta bevisar Frobenius gissning.

Se även

Litteratur

Bakhturin Yu. A. Grundläggande strukturer för modern algebra. — M .: Nauka, 1990. — 320 sid.
Kurosh A. G. Föreläsningar om allmän algebra. 2:a uppl . - M. : Nauka, 1973. - 400 sid.
Pontryagin L. S. Generaliseringar av siffror . — M .: Nauka, 1986. — 120 sid. - (Bibliotek "Quantum" , nummer 54).

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion

Algebra över ringen
Dimension - Power of 2	Komplexa tal (storlek 2) $\mathbb {C}$ Quaternions (storlek 4) $\mathbb {H}$ Cayley Numbers/Octonions/Octaves (Storlek 8) $\mathbb O$ Sedenioner (storlek 16) $\mathbb S$
se även	Frobenius teorem Hyperkomplext tal Algebra Kropp imaginär enhet

Anteckningar

↑ Algebra med division innehåller inte nolldelare . För en änddimensionell algebra över ett fält är det omvända också sant. Därför kan i olika källor, när man formulerar satsen och följderna, både termen "algebra med division" och "algebra utan nolldelare" användas.
↑ Fomenko A. T., Fuchs D. B. Kurs i homotopi-topologi. - Moskva, 1989 - §19, s.170.