Alternativ algebra
En alternativ algebra är en algebra över ett fält där multiplikation är alternativ [1] . Varje associativ algebra är självklart alternativ, men det finns också icke-associativa alternativa algebror, varav oktaver är ett exempel . En generalisering av oktaver, sedenioner , har inte längre egenskapen att vara alternativ.
Anslutning till Maltsev algebra
För den alternativa algebra och Maltsev algebra finns en analog till Poincaré-Birkhoff-Witt-satsen . Det finns följande samband mellan alternativa algebror och Maltsev-algebror: att ersätta multiplikationen g(A,B) i en alternativ algebra M med kommutatoroperationen [A,B]=g(A,B)-g(B,A), gör det till en Maltsev-algebra .
Associera
Använder en partner
![[x,y,z] = (xy)z - x(yz)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1dd4cbc4e3e9a80e2ec6866d1294ef04efe97)
identiteterna som definierar den alternativa algebra har formen [2]
![[x,x,y] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a1374960ee08cdee5d041c68cab56a4997b5ea)
![[y,x,x] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856eb0c9a06c9acba9f595cbf7d89a494e753918)
för alla element och härifrån, på grund av associatorns multilinjäritet, är det lätt att få det
![[x,y,z] + [y,x,z] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46c4174c40b512f80e585cd9a5b199e49ff9954)
![[x,y,z] + [x,z,y] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bfd67742634b472c30237b7d7c159eb5cbdf8d8)
Således, i alternativ algebra, är associatorn en alternativ operation:
![[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099d89046d5801047a1a8186681d752286a2087)
där - permutation av element - pariteten för denna permutation. Det omvända är också sant: om associatorn är alternativ, så är ringen alternativ. Det är på grund av sambandet med associatorns alternativhet som alternativa ringar fick ett sådant namn.
På samma sätt kan det visas att för att en associator ska vara alternativ räcker det att två av följande identiteter har:
varav den tredje av identiteterna följer omedelbart.
Anteckningar
- ↑ "Mathematical Encyclopedia" / Chefredaktör I. M. Vinogradov. - M . : "Sovjetisk uppslagsverk", 1979. - T. 2. - 1104 sid. - (51 [03] M34). - 148 800 exemplar.
- ↑ Zhevalkov K.A., Slinko A.M., Shestakov I.P., Shirshov A.I., "Rings close to associative" M.: Nauka, 1978. Kapitel 2, Paragraf 3. s. 49-55.
Litteratur
- Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Kapitel III. Ringar och moduler // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .
- Schafer, Richard D. An Introduction to Nonassociative Algebras (engelska) . - New York: Dover Publications , 1995. - ISBN 0-486-68813-5 .