Associera

En associator i allmän algebra är en trilinjär kartläggning över en ring (inte nödvändigtvis associativ) , definierad av formeln: $R\times R\times R\to R$ $R$

[x,y,z] = (xy)z - x(yz)

Precis som en kommutator mäter "graden av icke-kommutativitet" för en ring, mäter en associator dess "grad av icke-associativitet". Associatorn för tre element är nämligen lika med noll om och endast om deras multiplikation i en given ordning är associativ . Om associatorn för alla element i en ring är 0, är ringen associativ .

Egenskaper

I vilken ring som helst har associatorn följande identitet:

w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz]

En ring är alternativ om och endast om dess associator är alternativ , det vill säga:

[x_{1},x_{2},x_{3}]=\operatörsnamn {sgn} \sigma [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]

där är en permutation av tre element, och är pariteten för denna permutation. $\sigma$ $\operatörsnamn {sgn} \sigma$

Kategoriteori

I kategoriteorin är en associator en isomorfism:

a_{x,y,z}:(x\otimes y)\otimes z\mapsto x\otimes (y\otimes z)

Med produkten avses här produkten i kategorin monoidal .

Litteratur

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Kapitel III. Ringar och moduler // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .