Multilinjär algebra

Multilinjär algebra är en gren av algebra som generaliserar begreppen linjär algebra till funktioner av flera variabler som är linjära i vart och ett av argumenten.

Grundläggande definitioner

Huvudobjektet för multilinjär algebra är den multilinjära ( -linjära) mappningen : $n$

f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow W

var och är vektorrum över ett visst fält . -linjäritetsvillkoret innebär strängt taget det för varje familj av mappningar $V_1, \dots, V_n$ $W$ $K$ $n$ $i = 1, \prickar, n$

(\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}} : V_k \rightarrow W; \quad (\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}}(x_i) = f(x_1, \dots, x_n)

beroende på variabler som på parametrar , består av linjära mappningar . Man kan också definiera en -linjär mappning rekursivt (genom induktion) som en linjär mappning från till ett vektorrum av -linjära mappningar. $n-1$ $\{x_k | k \ne i\}$ $n$ $V_{n}$ $(n-1)$

En 2-linjär mappning kallas bilinjär , en 3 -linjär mappning kallas trilinjär . Om det matchar fältet kallas mappningen en multilinjär form . $W$ $K,$

En polylinjär form sägs vara symmetrisk om dess värde inte ändras när två argument byts ut, och därför när alla argument byts ut.
En polylinjär form sägs vara skevsymmetrisk (antisymmetrisk) om dess värde vänds om när två valfria argument byts ut. Därför, när alla argument är permuterade, kommer dess värde inte att ändras om permutationen är jämn, och kommer att ändras till motsatsen om permutationen är udda.
Sats: [1] för varje det finns en unik (upp till multiplikation med en konstant — ett element i fältet ) skev-symmetrisk- linjär form . Detta är determinanten för en matris som består av vektorer . $n>1$ $K$ $n$ $f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow K$ $V_1, \dots, V_n$

Det är möjligt att generalisera mappningar från vektorrum (över fält) till moduler över ringar .

Kvadratiska och bilinjära former

Algebraiska former ( homogena polynom på vektorrum givna av homogena polynom i vektorkoordinater) är viktiga studieobjekt i linjär algebra. Av dessa är kvadratiska former och bilinjära former av största intresse , men även former av högre grader, multilinjära former, polykvadratiska former och vissa speciella former av former ( en-och-en- halv -linjär , Hermitian ) studeras också. Huvudfrågorna i studiet av algebraiska former är lagarna för förändring av koefficienter under linjära transformationer (förändringar av koordinater), metoder för reduktion till den kanoniska formen med hjälp av linjära transformationer och ömsesidig representation av former. [2]

En kvadratisk form är ett objekt av linjär algebra som förekommer i många grenar av matematiken, i synnerhet inom talteori , gruppteori ( ortogonal grupp ), differentialgeometri, Lie algebras ( Killing form ), definierad som ett homogent polynom av den andra graden i grundfältet av variabler ( är dimensionen av det aktuella utrymmet). En kvadratisk form kan representeras som en matris , som (med det huvudsakliga kännetecknet som skiljer sig från 2) är symmetrisk , och varje symmetrisk matris motsvarar en kvadratisk form, respektive samma operationer introduceras på kvadratiska former som på matriser (multiplikation genom en skalär, addition ), kan kvadratiska former reduceras till en kanonisk form - en diagonal form: $n$ $n$ $n\ gånger n$

\sum_{i=1}^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2

(en av de praktiska reduktionsmetoderna är Lagrange-metoden ) och betraktas som en ekvivalensklass av alla kvadratiska former som kan reduceras till en diagonal form med lämpliga koefficienter, rangordningen och signaturen bevaras inuti sådana ekvivalensklasser . [3] $[a_1, \dots, a_n]$

Att betrakta ett par linjära former (homogena polynom av första graden) som en enda funktion av två system av variabler (i termer av linjära rum, över den kartesiska produkten av två vektorrum, i det mest allmänna fallet, över produkten av vänster och högra enhetliga moduler över en ring med identitet) leder till begreppet en bilinjär form (ur tensoralgebras synvinkel betraktas en bilinjär form som en rangtensor ). Liksom den kvadratiska formen kan den bilinjära formen uttryckas av en matris, dessutom kan vilken bilinjär form som helst representeras av en kvadratisk: $(2.0)$ $B$

Q_b(x)= B(x,y) + B(y,x)

dessutom, i fallet när vektorrummet definieras över ett fält av karaktäristik som skiljer sig från 2 på ett ömsesidigt unikt sätt [4] .

Med tanke på dess speciella betydelse (både för själva linjär algebra och för tillämpningar) har egenskaperna hos symmetriska och skevsymmetriska bilinjära former studerats i största detalj. $(B(x,y)=B(y,x))$ $(B(x,y)= - B(y,x))$

Andra exempel

Formalism

Objekt

Operationer

Tensorprodukt - skapar ett linjärt utrymme, men mappningar som är linjära på produkten motsvarar multilinjära mappningar på de ursprungliga utrymmena

Anteckningar

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. II, s. 52 - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Maltsev, 1970 , sid. 254.
↑ Maltsev, 1970 , sid. 262-270.
↑ Kvadratisk form - Encyclopedia of Mathematics artikel . Malyshev A.V.

Litteratur

Multilinjär algebra - Encyclopedia of Mathematics artikel . A. L. Onishchik

Maltsev AI Grunderna i linjär algebra. - 3:a. — M .: Nauka , 1970. — 400 sid.