Symmetrisk matris

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Symmetrisk (symmetrisk) kallas en kvadratisk matris , vars element är symmetriska kring huvuddiagonalen . Mer formellt kallas en matris symmetrisk om . $A$ $\forall i,j:a_{{ij}}=a_{{ji}}$

Detta betyder att det är lika med dess transponerade matris :

A=A^{T}

Exempel

{\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0 \\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}

Egenskaper

En symmetrisk matris är alltid kvadratisk .

För varje symmetrisk matris A med reella element gäller följande:

den har verkliga egenvärden
dess egenvektorer som motsvarar olika egenvärden är ortogonala mot varandra:

Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0

dess egenvektorer kan alltid bilda en ortonormal bas
matris A kan reduceras till en diagonal form: , där är en ortogonal matris , vars kolumner innehåller en ortonormal bas av egenvektorer, och D är en diagonal matris med egenvärden för matris A på diagonalen. $A=QDQ^{{T}}$ $F$
Om en symmetrisk matris A har ett enda egenvärde , så har den en diagonal form: , där är identitetsmatrisen , på valfri grund. $\lambda$ $A=\lambda E$ $E$
För en symmetrisk matris är varje kongruent matris också symmetrisk, dvs.

${\textstyle A=A^{\mathrm {T} }\quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm {T} }AX=(X^{\mathrm {T}}AX)^{\mathrm {T} }.}$

Positiva (negativa) bestämda matriser

En symmetrisk dimensionsmatris sägs vara positiv definitiv om villkoret för en negativ, icke-positiv och icke-negativ bestämd matris formuleras på liknande sätt med en motsvarande förändring i olikhetstecknet. För att klargöra arten av matrisens säkerhet kan Sylvester-kriteriet användas . $A$ $k\ gånger k$ ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \))$ $z^{T}Az>0.$

Se även

Litteratur

Bellman R. Introduktion till matristeori . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5:e uppl. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 sid. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2:a upplagan). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Matrisberäkningar. — M .: Mir, 1999. — 548 sid. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Kurs i högre algebra. - 9:e uppl. - M . : Nauka, 1968. - 432 sid.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig