Egenvektor

En egenvektor är ett begrepp i linjär algebra , definierat för en godtycklig linjär operator som en vektor som inte är noll , applikationen av operatorn som ger en kolinjär vektor - samma vektor multiplicerad med något skalärt värde (som kan vara lika med 0) . Skalären med vilken egenvektorn multipliceras med operatorn kallas egenvärdet (eller egenvärdet ) för den linjära operatorn som motsvarar den givna egenvektorn. En representation av en linjär operator är en kvadratisk matris , så egenvektorer och egenvärden definieras ofta i samband med användning av sådana matriser [1] [2] .

Begreppen egenvektor och egenvärde [3] är ett av nyckelbegreppen i linjär algebra, många konstruktioner är byggda på deras bas. Detta beror på att många relationer associerade med linjära operatorer är avsevärt förenklade i ett koordinatsystem byggt på basis av operatorns egenvektorer. Uppsättningen av egenvärden för en linjär operator (operatorspektrum ) kännetecknar viktiga egenskaper hos operatorn utan hänvisning till något speciellt koordinatsystem. Av dessa skäl är egenvektorer av stor praktisk betydelse. Så till exempel finns egenvektorer ofta inom mekanik, kvantteori och så vidare. Speciellt har spinprojektionsoperatorn på en godtycklig axel två egenvärden och deras motsvarande egenvektorer.

Konceptet med ett linjärt vektorrum är inte begränsat till "rent geometriska" vektorer och generaliserar till olika uppsättningar av objekt, såsom funktionsrum (på vilka linjära differential- och integraloperatorer verkar). För sådana rum och operatorer talar man om operatorernas egenfunktioner .

Mängden av alla egenvektorer för en linjär operator som motsvarar ett givet egenvärde, kompletterad med en nollvektor , kallas ett egenunderrum [4] för denna operator.

Sökandet efter optimala algoritmer för att beräkna egenvärden för en given linjär operator är ett av de viktiga problemen inom beräkningsmatematik .

Definitioner

En egenvektor för en linjär transformation , där är ett linjärt utrymme över ett fält , är en vektor som inte är noll , så att för vissa . $A\kolon L\till L$ $L$ $K$ $x\i L$ $\lambda \i K$ $\ax=\lambda x$

Ett egenvärde ( egenvärde ) för en linjär transformation är ett tal för vilket det finns en egenvektor, det vill säga att ekvationen har en lösning som inte är noll . $A$ $\lambda \i K$ $ax=\lambda x$ $x\i L$

Enkelt uttryckt är en egenvektor vilken vektor som helst som inte är noll som mappas till en vektor som är kolinjär till den av operatorn , och motsvarande skalär kallas operatorns egenvärde . $x$ $\lambda x$ $A$ $\lambda$

Eget delrum (eller karakteristiskt delrum ) av en linjär transformation för ett givet egenvärde (eller motsvarande detta tal) är mängden av alla egenvektorer som motsvarar ett givet egenvärde, kompletterade med en nollvektor. Låt oss beteckna det korrekta delutrymmet som motsvarar egenvärdet , med , och identitetsoperatorn med . Per definition är ett korrekt delutrymme kärnan i en operator , det vill säga uppsättningen vektorer som mappas av denna operator till en nollvektor: $A$ $\lambda \i K$ $x\i L$ $\lambda$ $E_{\lambda }$ $jag$ $A-\lambda \cdot I,$

E_{\lambda }=\ker(A-\lambda \cdot I)

Rotvektorn för en linjär transformation för ett givet egenvärde är en vektor som inte är noll så att för något naturligt tal : $A$ $\lambda \i K$ $x\i L$ $m$

(A-\lambda \cdot I)^{m}x=0

Om är det minsta av sådana naturliga tal (dvs ), då kallas det höjden på rotvektorn . $m$ $(A-\lambda \cdot I)^{m-1}x\neq 0$ $m$ $x$

Rotdelrummet för en linjär transformation för ett givet egenvärde är mängden av alla rotvektorer som motsvarar det givna egenvärdet, om denna mängd kompletteras med en nollvektor. Låt oss beteckna rotdelrummet som motsvarar egenvärdet λ med . Per definition: $A$ $\lambda \i K$ $x\i L$ $V_{\lambda }$

V_{\lambda }=\bigcup _{m=1}^{\infty }\ker(A-\lambda \cdot I)^{m}=\bigcup _{m=1}^{\infty }V_{m,\lambda }

Historik

Egenvärden introduceras vanligtvis i samband med linjär algebra, men historiskt har de sitt ursprung i studiet av kvadratiska former och differentialekvationer .

Under XVIII-talet upptäckte Euler , som studerade rotationsrörelsen hos en absolut stel kropp , betydelsen av huvudaxlarna, och Lagrange visade att huvudaxlarna motsvarar tröghetsmatrisens egenvektorer . I början av 1800-talet använde Cauchy Eulers och Lagranges arbete för att klassificera andra ordningens ytor och generalisera resultaten till högre ordning. Cauchy myntade också termen "karakteristisk rot" ( franska: racine caractéristique ) för egenvärde. Denna term har bevarats i samband med det karakteristiska polynomet i en matris [5] [6] .

I början av 1900-talet var Hilbert engagerad i studien av egenvärden för integraloperatorer, och betraktade de senare som matriser av oändlig storlek [7] . 1904 började Hilbert använda termerna egenvärden och egenvektorer för att referera till egenvärden och egenvektorer , baserat på det tyska ordet eigen ( egen ) [8] . Därefter överfördes dessa termer också till det engelska språket och ersatte de tidigare använda "riktiga värdena" och "riktiga vektorn" [9] .

Egenskaper

Allmänt fall

Ett delrum kallas ett invariant delrum av en linjär transformation ( -invariant delrum ) om: $V\subset L$ $A$ $A$

AV\subseteq V

Egenunderrymden , rotunderrymden och underrymden för en linjär operator är -invarianta. $E_{\lambda }$ $V_{\lambda }$ $V_{m,\lambda }$ $A$ $A$

Egenvektorer är rot (höjder 1): ; $E_{\lambda }\subseteq V_{\lambda }$

Rotvektorer kanske inte är egenvektorer: till exempel för att transformera ett tvådimensionellt utrymme givet av en matris:

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

(AE)^{2}=0

, och alla vektorer är rot, motsvarande ett egenvärde , men har en enda egenvektor (upp till multiplikation med ett tal).

ett

A

För olika egenvärden har rot- (och därför egenvärden) delrum en trivial (noll) skärningspunkt:

V_{\lambda }\bigcap V_{\mu }=\{0\}

om .

\lambda \neq \mu

Metoden för att hitta egenvärden för självanslutande operatorer och hitta singulära värden för en normal operator ges av Courant-Fisher-satsen .

Finita dimensionella linjära utrymmen

Genom att välja en bas i det dimensionella linjära rummet kan man associera en kvadratisk matris med en linjär transformation och bestämma det karakteristiska polynomet för matrisen för den : $n$ $L$ $A\kolon L\till L$ $n\ gånger n$

{\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda \cdot I)=\summa \limits _{k=0}^{n}a_{k}\lambda ^{k))

Det karakteristiska polynomet beror inte på grunden i . Dess koefficienter är operatorinvarianter . I synnerhet , beror inte på valet av grunden. $L$ $A$ $a_{0}=\det \,A$ $a_{n-1}=\operatörsnamn {tr} \,A$

Egenvärdena, och endast dem, är rötterna till det karakteristiska polynomet i matrisen. Antalet distinkta egenvärden kan inte överstiga matrisens storlek. Om vi väljer operatörens egenvektorer som basvektorer, kommer matrisen i en sådan bas att bli diagonal och operatörens egenvärden kommer att vara på diagonalen. Observera dock att inte varje matris tillåter en grund av egenvektorer (den allmänna strukturen beskrivs av den normala Jordan-formen ). För en positiv-definitiv symmetrisk matris är proceduren för att hitta egenvärden och egenvektorer inget annat än att hitta riktningarna och längderna på halvaxlarna för motsvarande ellips . $A$ $A$

Om talfältet är algebraiskt stängt (till exempel är fältet för komplexa tal ), så bryts det karakteristiska polynomet upp till en produkt av linjära faktorer: $n$

P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})

var är egenvärden; några av dem kan vara lika. Egenvärdets multiplicitet är antalet faktorer som är lika i expansionen av det karakteristiska polynomet till linjära faktorer (även kallad egenvärdets algebraiska multiplicitet ). $\lambda _{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda -\lambda _{i},$

Dimensionen av rotutrymmet är lika med multipliciteten av egenvärdet. $V_{\lambda _{i}}$

Ett vektorrum bryts ned till en direkt summa av rotdelrum (med Jordan -formsatsen ): $L$

L=\bigoplus _{\lambda _{i}}V_{\lambda _{i}}

där summeringen är över alla egenvärden .

\lambda _{i}

A

Den geometriska multipliciteten av ett egenvärde är dimensionen av motsvarande egendelrum ; den geometriska multipliciteten för ett egenvärde överstiger inte dess multiplicitet, eftersom $\lambda _{i}$ $E_{\lambda _{i}}$ $E_{\lambda _{i}}\subseteq V_{\lambda _{i}}$

Normala operatorer och deras underklasser

Alla rotvektorer för en normaloperator är egenvektorer. Egenvektorerna för den normala operatorn som motsvarar olika egenvärden är ortogonala, det vill säga om , och , då (detta är inte sant för en godtycklig operator). $A$ $ax=\lambda x$ $Ay=\mu y$ $\lambda \neq \mu$ $(x,y)=0$

Alla egenvärden för en självadjoint operator är reella, de för en anti-hermitisk operator är imaginära, och alla egenvärden för en enhetsoperator ligger på enhetscirkeln . $|\lambda |=1$

I det finita dimensionella fallet är summan av dimensionerna av egenunderrymden för normaloperatorn som motsvarar alla egenvärden lika med dimensionen av matrisen, och vektorrymden sönderdelas till en ortogonal summa av egenunderrymden: ${\displaystyle A\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n))$

L=\bigoplus _{\lambda _{i}}E_{\lambda _{i}}

där summeringen är över alla egenvärden och är ömsesidigt ortogonala för olika . Denna egenskap för en normal operator över i det finita dimensionella fallet är karakteristisk: operatorn är normal om och endast om dess matris har en diagonal form på någon ortonormal basis . $\lambda _{i}$ $A$ $E_{\lambda _{i}}$ $\lambda _{i}$ $\mathbb {C}$

Positiva matriser

En kvadratisk reell matris kallas positiv om alla dess element är positiva: . $n\ gånger n$ $A=(a_{{ij}})$ $a_{ij}>0$

Perrons sats (ett specialfall av Perron–Frobenius sats ): En positiv kvadratisk matris har ett positivt egenvärde som har algebraisk multiplicitet 1 och strikt överstiger det absoluta värdet av alla andra egenvärden i den matrisen. Ett egenvärde motsvarar en egenvektor , vars alla koordinater är strikt positiva. En vektor är den enda egenvektorn (upp till multiplikation med ett tal) som har icke-negativa koordinater. $A$ $r$ $r$ $e_{r}$ $e_{r}$ $A$

Egenvektorn kan beräknas genom direkta iterationer : en godtycklig initialvektor med positiva koordinater väljs, det efterföljande elementet ges av den rekursiva formeln: $e_{r}$ $v_{0}$

v_{k+1}={\frac {Av_{k}}{\|Av_{k}\|}}

en sekvens erhålls som konvergerar till en normaliserad egenvektor . $v_{{k}}$ $e_{r}/\|e_{r}\|$

Ett annat tillämpningsområde för den direkta iterationsmetoden är sökningen efter egenvektorer för positiva-definita symmetriska operatorer.

Egenvärde ojämlikheter

Schurs olikhet : för matrisegenvärden : ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n))$ $A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}$

\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^ {2}=\|A\|_{F}^{2}

dessutom uppnås jämlikhet om och endast om är en normal matris [10] . $A$

För matrisens egenvärden , där matriserna är hermitiska , har vi: $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ $A=B+iC$ $FÖRE KRISTUS$

\sum _{i=1}^{n}|\Re \lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|b_{ij} |^{2}

och [11] .

\sum _{i=1}^{n}|\Im \lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|c_{ij} |^{2}

För hermitiska matriser och deras egenvärden, ordnade i stigande ordning: ge: vid och vid [11] . $A,B$ $C=A+B$ $\alpha _{1}\leqslant ...\leqslant \alpha _{n},\beta _{1}\leqslant ...\leqslant \beta _{n},\gamma _{1}\leqslant .. .\leqslant \gamma _{n}$ $\gamma _{i}\geqslant \alpha _{i}+\beta _{i-j+1}$ $i\geqslant j$ $\gamma _{i}\leqslant \alpha _{i}+\beta _{i-j+n}$ $i\leqslant j$

Anteckningar

↑ Herstein (1964 , s. 228 229)
↑ Nering (1970 , s. 38)
↑ Synonyma termer används ibland: karakteristisk vektor och operatörens karakteristiska nummer .
↑ Ej att förväxla med ett korrekt delrum av ett linjärt vektorrum - vilket delrum som helst annat än de triviala delutrymmena , det vill säga från detta utrymme själv och från nollrymden.
↑ Kline, 1972 , sid. 807–808.
↑ Augustin Cauchy (1839) "Mémoire sur l'intégration des équations linéaires" (Memoir om integrationen av linjära ekvationer), Comptes rendus , 8 : 827-830, 845-865, 889-907, 931-97. sid. 827: Arkiverad 7 juni 2019 på Wayback Machine "On sait d'ailleurs qu'en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la variable prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec la variabel principale les racines d'une suree équation que j'appellerai l' équation caractéristique , le degré de cette équation étant précisément l'order de l'équation différentielle qu'il s'agit d'intégrer."
↑ Kline, 1972 , sid. 1063.
↑ David Hilbert (1904). Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. (Erste Mitteilung)" Arkiverad 5 november 2018 på Wayback Machine , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse , pp. 49-91.
↑ Aldrich, John (2006), "Eigenvärde, egenfunktion, egenvektor och relaterade termer", i Jeff Miller (red.), Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Arkiverad 23 december 2017 på Wayback Machine
↑ Problem och satser för linjär algebra, 1996 , sid. 206.
↑ 1 2 Problem och satser för linjär algebra, 1996 , sid. 207.

Litteratur

Gantmakher F. R. . Matristeori. —M.: Nauka, 1966. — 576 sid. — ISBNISBN 5-9221-0524-8.
Wilkinson D. H. Algebraiskt egenvärdeproblem. — M .: Nauka, 1970. — 564 sid. — ISBN 978-5-458-25464-9 .
Gelfand I. M. . Föreläsningar om linjär algebra. -M.: Dobrosvet, KDU, 2009. - 320 sid. -1000 exemplar. -ISBN 978-5-98227-625-4.
Faddeev D.K. Föreläsningar om algebra. -M.: YOYO Media, 2012. - 416 sid. -ISBN 978-5-458-25543-1.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. -M.: Fizmatlit, 2009. - 512 sid. -ISBN 978-5-9221-1139-3.
Prasolov VV Problem och satser för linjär algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 sid. - ISBN 5-02-014727-3 .
Ikramov Kh. D. Asymmetriskt egenvärdeproblem. — M .: Nauka, 1991. — 240 sid. — ISBN 5-02-014462-2 .
Herstein, IN (1964), Ämnen i algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Horn, Roger A. & Johnson, Charles F. (1985), Matrisanalys , Cambridge University Press, ISBN 0-521-30586-1
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley
Kline, Morris (1972), Matematisk tanke från antiken till modern tid , Oxford University Press, ISBN 0-19-501496-0

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig