Courant–Fischers sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 september 2018; kontroller kräver 2 redigeringar .

Courant–Fischer- satsen är en sats om en egenskap hos en hermitisk operator i ett Hilbert - funktionsrum. Kallas även minimaxsatsen [1] .

Formulering

\lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}{\frac {(Ax,x)}{( x,x)}}

A

är en linjär självtillslutande operatör som verkar i ett ändligt dimensionellt komplex eller verkligt utrymme,

S

- enkel sfär

{\displaystyle e=e_{1}\dots e_{n))

är en ortonormal bas för rymden , bestående av egenvektorerna för operatorn ,

V

A

\lambda_k

är det -:te egenvärdet för operatorn , och

k

A

{\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n))

L_{k}

— -dimensionellt delrum av .

k

V

Bevis

$p=n-k+1$ , — -dimensionellt delrum av , — linjärt spann av vektorer . . Varifrån följer det . Låt och . Sedan dess . Å andra sidan, sedan
$L_{k}$ $k$ $V$
$W_{n-k+1}$ ${\displaystyle e_{k}\dots e_{n))$
$\dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1$
${\displaystyle L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing ))$ ${\displaystyle x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1))$ $\ \|x_{0}\|=1$
$\lambda _{k}=\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x),$ ${\frac {(Ax_{0},x_{0})}{(x_{0},x_{0})}}\leq \lambda _{k}$
$x_{0}\in L_{k}$

{\displaystyle \inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\leq \lambda _{k))

\sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\leq \lambda _{k}

Jämställdhet uppnås vid . $L_{k}=L({e_{1}\dots e_{k)))$

Extra

Det är uppenbart att . $\sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)=\inf \limits _{L_{n-k+1 }}\sup \limits _{x\in L_{n-k+1}\cap S}(Ax,x)$

Anteckningar

↑ Li Tsung-dao . Matematiska metoder i fysik. — M.: Mir, 1965. — sid. 190

Litteratur

R. Bellman. Introduktion till matristeori
Lanster. Matristeori
Prasolov Problem och satser för linjär algebra.
Ilyin, Kim. Linjär algebra och analytisk geometri