Ändligt dimensionellt utrymme

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 september 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ett ändligt dimensionellt utrymme är ett vektorrum där det finns en ändlig bas - ett genererande (komplett) linjärt oberoende system av vektorer. Med andra ord, i ett sådant utrymme finns det ett ändligt linjärt oberoende system av vektorer vars linjära kombination kan representera vilken vektor som helst i det givna rummet.

En bas är (samtidigt) både ett minimalt genererande (komplett) system och ett maximalt linjärt oberoende system av vektorer. Alla baser innehåller samma antal element, vilket kallas dimensionen av vektorrummet .

Ett ändligt dimensionellt utrymme där den skalära produkten av dess element introduceras kallas euklidisk . Ett ändligt dimensionellt utrymme där normen för dess element introduceras kallas ett ändligt dimensionellt normerat utrymme . Närvaron av en inre produkt eller norm genererar ett mått i ett ändligt dimensionellt utrymme .

Egenskaper för ändliga dimensionella utrymmen

Varje element i ett ändligt dimensionellt utrymme kan representeras unikt i formen $x$ $X$

x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P}$ var är fältet (ofta eller ) över vilket utrymmet anses , är delarna av grunden. Detta följer av definitionen av underlag. ${\mathbb P}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $X$ $e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X$

Dessutom kan vilken grund som helst i det euklidiska rummet göras ortonormal med Schmidt-ortogonaliseringen .

Alla baser i ett ändligt dimensionellt utrymme består av samma antal element. Denna egenskap ger riktigheten av definitionen av utrymmets dimension .
Låta vara ett ändligt dimensionellt utrymme och vara ett linjärt oberoende system av element. Då kan detta system alltid kompletteras till ett underlag . $X$ $\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}$
Alla änddimensionella rum av samma dimension är isomorfa till varandra.
I vilket ändligt dimensionellt utrymme som helst över ett fält kan en inre produkt introduceras . Till exempel, i ett utrymme med en fast bas, dimension , kan du ange den skalära produkten enligt regeln: , var är komponenterna i vektorerna och resp. Det följer av denna egenskap att man i ett ändligt dimensionellt utrymme över ett fält kan införa en norm och en metrik . Som en konsekvens kan man få att: $\mathbb {R}$ $X$ $n$
${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X,(x_{1},x_{2})=\summa _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{ k))$ $\{a_{k}\},\{b_{k}\}$ $x_{1}$ $x_{2}$
$\mathbb {R}$
- $X$ är ett reflexivt utrymme [1] .
- Det dubbla utrymmet till något ändligt dimensionellt utrymme är ändligt dimensionellt och dess dimension sammanfaller med . $X^{*}$ $X$ $X$
- För varje delrum av ett ändligt dimensionellt utrymme finns det ett delrum
[2] så att och bryts ner till en direkt summa av och , . $M\delmängd X$ $X$ $M^{\perp }\subset X$ $\forall x\in M,\forall y\in M^{\perp },x\perp y$ $X$ $M$ ${\displaystyle M^{\perp ))$ $X=M\oplus M^{\perp }$

I det euklidiska rummet konvergerar varje svagt konvergent sekvens starkt.

Alla normer i ett ändligt dimensionellt utrymme över ett fält är likvärdiga. Konvergens i det euklidiska rummet är likvärdigt med koordinatvis konvergens.

\mathbb {R}

Varje linjär kontinuerlig operator i ett ändligt dimensionellt utrymme kan representeras som en matris .

Utrymmet över ett fält är ändligt dimensionellt om och endast om identitetsoperatorn är helt kontinuerlig .

X

\mathbb {R}

I:X\rightarrow X

Ett utrymme är ändligt dimensionellt om och endast om det finns en inverterbar helt kontinuerlig operatör som verkar på det .

X

X

Ett utrymme är ändligt dimensionellt om och endast om enhetskulan är prekompakt. Den här egenskapen kan omformuleras enligt följande: ett utrymme är ändligt dimensionellt om och endast om någon uppsättning avgränsad till är prekompakt.

X

X

X

X

Varje linjär operator som definieras i ett ändligt dimensionellt utrymme är kontinuerlig och till och med helt kontinuerlig .

A:X\rightarrow Y

X

I ett ändligt dimensionellt utrymme är varje operatör enhetlig om och endast om den är isometrisk, det vill säga den bevarar punktprodukten.

Exempel

Det euklidiska rummet har en dimension på 3, som grund kan man välja en trippel av vektorer ${\mathbb E}^{3}$

\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix)),{\begin {pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}

Ett mer allmänt fall är utrymmen med dimension n . Normen i dem sätts vanligtvis på något av följande sätt ( ): $\mathbb {R} ^{n}$ $1\leq p<\infty$

\|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p))))

eller

\|x\|_{\infty }=\max _{i=1,2,\dots ,n}{|x_{i}|}.

Om vi introducerar normen och den skalära produkten kommer utrymmet att vara euklidiskt. ${\displaystyle \|x\|_{2))$ $(x,y)={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i))},$

$P^{n}$ är utrymmet för alla polynom av grad som mest . Dimensionen av detta utrymme är . Polynom utgör en grund i den. $n$ $n+1$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},...,x^{n))$
Låta vara ett godtyckligt linjärt utrymme och låt vara något linjärt oberoende system av vektorer. Då är det linjära spännet som spänner över av detta system ett ändligt dimensionellt utrymme. $X$ $\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$

Se även

Oändligt utrymme

Anteckningar

↑ Detta faktum kan erhållas både med hjälp av Riesz-Fréchets sats , och genom direkta beräkningar, utan att använda teorin om Hilbert-rymden.
↑ kallas ofta det ortogonala komplementet till ${\displaystyle M^{\perp ))$ $M$

Litteratur

Trenogin V. A. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1980 . — 495 sid.
Halmos P. Finitadimensionella vektorrum = Finitadimensionella vektorrum. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 sid.
Shilov G.E. Matematisk analys. Specialkurs. - 2:a. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 sid.

Dimension av utrymme
Utrymmen efter dimension	Nolldimensionell en-dimensionell 2D 3D fyrdimensionell femdimensionell Sexdimensionell Sjudimensionell oktal Niodimensionell n-dimensionell Negativ dimension
Polytoper och figurer	Simplex hyperkub tesserakt Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkub Cross-polytope hypersfär
Typer av utrymmen	ändligt dimensionellt utrymme Euklidiskt utrymme affint utrymme projektivt utrymme Gratis modul Grenrör Dimension av en algebraisk variabel rum-tid
Andra dimensionella koncept	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Bråkdimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader av frihet
Matte