Linjär kontinuerlig operatör

En linjär kontinuerlig operator som verkar från ett linjärt topologiskt utrymme X till ett linjärt topologiskt utrymme Y är en linjär mappning från X till Y som har kontinuitetsegenskapen . $A:X\rightarrow Y$

Termen "linjär kontinuerlig operator " används vanligtvis när Y är flerdimensionell . Om Y är endimensionell, dvs. sammanfaller med själva fältet ( eller ), då är det vanligt att använda termen linjär kontinuerlig funktionell [1] . Uppsättningen av alla linjära kontinuerliga operatorer från X till Y betecknas med . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $L(X,Y)$

I teorin om normerade utrymmen är kontinuerliga linjära operatorer mer allmänt kända som avgränsade linjära operatorer av följande anledning. Teorin om kontinuerliga linjära operatorer spelar en viktig roll i funktionsanalys , matematisk fysik och beräkningsmatematik .

Egenskaper

Om X är ändlig -dimensionell är vilken linjär operator som helst kontinuerlig.
Kontinuiteten för en linjär operator vid noll är ekvivalent med dess kontinuitet vid vilken annan punkt som helst (och därför genom X ).
För normerade utrymmen är villkoren för kontinuitet och begränsning (det vill säga ändligheten hos operatornormen ) ekvivalenta. [2] . I det allmänna fallet innebär kontinuiteten för en linjär operator begränsning, men det omvända är inte alltid sant.
Om X och Y är Banach-rum , och bilden av operatorn sammanfaller med rymden Y , så finns det en inversoperator (den så kallade inversoperatorsatsen ). $A\in L(X,Y)$ $A^{-1}\in L(Y,X)$
Uppsättningen av alla linjära kontinuerliga operatorer från X till Y är i sig ett linjärt topologiskt utrymme. Om X och Y är normaliserade, så är det också normaliserat av operatörsnormen . Om Y är Banach, så är det det, oavsett fullständigheten av X . $L(X,Y)$ $L(X,Y)$

Egenskaperna för en linjär kontinuerlig operator beror starkt på egenskaperna hos utrymmena X och Y . Till exempel, om X är ett ändligt dimensionellt utrymme , kommer operatorn att vara en helt kontinuerlig operator, dess intervall kommer att vara ett ändligt dimensionellt linjärt delrum, och varje sådan operator kan representeras som en matris [3] . $A\in L(X,Y)$ $R(A)$

Kontinuitet och konvergerande sekvenser

En linjär operator som agerar från ett linjärt topologiskt utrymme X till ett linjärt topologiskt utrymme Y är kontinuerlig om och endast om det för någon sekvens av punkter i X följer av . $A:X\rightarrow Y$ $\{x_n\}$ ${\displaystyle x_{n}\högerpil x_{0))$ ${\displaystyle Ax_{n}\rightarrow Ax_{0))$

Låt serien konvergera och vara en linjär kontinuerlig operator. Sedan jämställdheten $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ $A:X\rightarrow Y$

\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As

Detta innebär att den linjära operatorn kan tillämpas term för term på konvergerande serier i linjära topologiska rum.

Om X , Y är Banach-mellanrum , omvandlar den kontinuerliga operatorn varje svagt konvergent sekvens till en svagt konvergent:

om svag, så svag.

x_{n}\to x

Ax_{n}\to Ax

Relaterade definitioner

En linjär operator sägs vara avgränsad underifrån om . $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$

Se även

Adjoint operatör

Litteratur

Trenogin V. A. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1980 . — 495 sid.
Halmos P. Finitadimensionella vektorrum = Finitadimensionella vektorrum. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 sid.
Shilov G.E. Matematisk analys (funktioner av en variabel), del 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 sid.

Anteckningar

↑ Linjära kontinuerliga funktionaler har specifika egenskaper som inte äger rum i det allmänna fallet och genererar speciella matematiska strukturer, så teorin om linjära kontinuerliga funktionaler betraktas separat från den allmänna teorin.
↑ Naimark M. A. Normerade ringar. — M .: Nauka, 1968. — 664 sid.
↑ Också, i ett ändligt dimensionellt utrymme med bas , kan en linjär kontinuerlig operator representeras som , där är funktioner från det dubbla utrymmet . $X$ ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{n))$ $A$ $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ $f_{k}\in X^{*}$