Omvänd operatör

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 april 2019; verifiering kräver 1 redigering .

En invers operator till en operator är en operator som tilldelar var och en av operatörens värdeuppsättning ett enda element från operatorns domän , vilket är en lösning på ekvationen . Om operatorn har en invers, det vill säga ekvationen har en unik lösning för någon av , då kallas den reversibel . Den omvända operatorn betecknas [1] . $A$ $y$ $\mbox{Im}\,A$ $A$ $x$ ${\mathcal {D}}(A)$ $A$ $Ax=y$ $A$ $Ax=y$ $y$ $\mbox{Im}\,A$ $A$ $A^{{-1}}$

Definition och existensvillkor

En annan definition: operatorn kallas inversen av operatorn om , var är identitetsoperatorn . Om endast relationen är uppfylld eller endast då kallas operatorn vänster invers respektive höger invers . Om en operator har en vänster invers och en höger invers, då är de lika med varandra, och operatorn är inverterbar [2] . Om det finns en invers operator är den unikt definierad [3] . $B$ $A$ $BA=I,\,AB=I$ $jag$ $BA=I$ $AB=I,$ $B$ $A$ $A$

En operator är inverterbar om den mappar till en-till-en, det vill säga den tar olika värden för olika . [4] Om operatorn är linjär , då för existensen av den inversa operatorn är det tillräckligt att den är uppfylld endast när [5] . $A$ ${\mathcal {D}}(A)$ ${\mbox{Im}}\,A$ $x\in {\mathcal {D}}(A)$ $y$ $A$ $A x = 0$ $x=0$

En linjär operator (även en begränsad ) kan ha en invers operator definierad inte på hela utrymmet . Till exempel i rymden den $\ell _{2}$ linjära operatorn

A(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots )

har en invers, som definieras för vektorer med den första koordinaten lika med noll: [5] . $x_{1}=0$

Egenskaper

$(A^{-1})^{-1}=A.$ [6]
$(A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.$ [3]
Operatören , omvänd till den linjära operatorn , är också linjär. [ett] $A^{{-1}}$
${\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1))$ , är en adjoint operatör [7] . $A^{*}$

Inversoperatorsatser

Banachs teorem

Låt vara en linjär avgränsad operator som mappar ett Banach-utrymme till ett Banach- utrymme på ett en-till-en- sätt . Då är den inversa operatorn begränsad. $A$ $E$ $E_1$ $A^{{-1}}$

Banachs teorem är en av grundprinciperna för linjär analys [8] . Från den följer den öppna avbildningssatsen : en linjär kontinuerlig avbildning av ett Banach-utrymme på (alla) ett Banach-utrymme är öppet [9] . $A$ $E$ $E_1$

Tillräckliga villkor för existensen av en invers operator

Låt en linjär operator som mappar ett normerat linjärt utrymme på ett normerat linjärt utrymme uppfylla för vilket villkor som helst $A$ $E$ $E_1$ $x\in E$

\|Ax\|\geq m\|x\|,

var är någon konstant . Sedan finns det en omvänt begränsad linjär operator [10] . $m>0$ $A^{{-1}}$

Låta vara en linjär avgränsad inverterbar operatör som agerar från ett Banach-utrymme till ett Banach-utrymme och vara en linjärt begränsat operatör från till så att . Då har operatorn en begränsad invers, och $A$ $E$ $E_1$ $\Delta A$ $E$ $E_1$ $\|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|$ $B=A+\Delta A$

\|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\ Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}

[11] [12] .

Låta vara ett Banach-utrymme , vara identitetsoperatorn i , och vara en linjär avgränsad operator som mappar in i sig själv så att . Då existerar operatorn, är begränsad och representeras som en serie $E$ $jag$ $E$ $A$ $E$ $\|A\|<1$ $(IA)^{-1}$

{\displaystyle (IA)^{-1}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }A^{k))

[13] .

Exempel

Fouriertransform

g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt

kan ses som en linjär avgränsad operator som verkar från rymden $L_{2}(-\infty ,\infty )$ in i sig själv. Dess inversa operator är den inversa Fouriertransformen

f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\ lambda

[14] .

Operatörer för integration och differentiering

För integrationsoperatören

Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,

agerar i utrymmet för kontinuerliga funktioner kommer inversen att vara differentieringsoperatorn : $C[0,1]$

A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),

definieras på ett linjärt grenrör av kontinuerligt differentierbara funktioner så att [15] . $y(0) = 0$

Sturm-Liouville operatör

För en Sturm-Liouville differentialoperator definierad på ett linjärt grenrör med två gånger kontinuerligt differentierbara funktioner så att , den inversa operatorn är integraloperatorn $Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,$ $x(0)=x(1)=0$

A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,

var är den grönas funktion . är en linjär avgränsad operator i [15] . $G(t,\tau )$ $A^{{-1}}$ $C[0,1]$

Integraloperator

Låta

Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds

är en integrerad operatör i utrymmet för kontinuerliga funktioner . För tillräckligt små värden av parametern, har operatorn (där är identitetsoperatorn ) en begränsad invers $C[0,1]$ $\lambda$ $(I-\lambda A)$ $jag$

(I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\ ,ds

var är kärnans upplösning . Genom att känna till upplösningsmedlet kan man hitta en lösning på integralekvationen $R(t,s,\lambda )$ $K(t, s)$

x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds

för valfri tid [16] . $y(t)$

Inversoperator i ett ändligt dimensionellt utrymme

En operator i ett ändligt dimensionellt utrymme är inverterbar om och endast om dess rang överensstämmer med rummets dimension . Med andra ord är determinanten för dess matris icke-noll. Den inversa operatorn motsvarar den inversa matrisen [17] .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of theory of functional and functional analysis, 1976 , sid. 225.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 128.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , sid. 168.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 351.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , sid. 319.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 154.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 207.
↑ Helemsky A. Ya. Linjär operator // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of theory of functional and functional analysis, 1976 , kapitel IV, §5, s. 4.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 155.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 157.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of theory of functions and functional analysis, 1976 , sid. 229.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of theory of functions and functional analysis, 1976 , sid. 230.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementar i teorin om funktioner och funktionell analys, 1976 , kapitel VIII.
↑ 1 2 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 161.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 163.
↑ Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Linjär algebra. Proc. för universiteten. - 5:e upplagan - M . : Fizmatlit, 2002. - 320 sid. — ISBN 5-9221-0129-3 .

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. — Vetenskap, kap. ed. Phys.-Matte. lit.. - M. , 1976.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Element av funktionell analys. - Ed. 2:a, reviderad .. - M . : Nauka, 1965. - 520 sid.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Föreläsningar om funktionsanalys. — M .: Mir, 1979. — 592 sid.
Sobolev V.I. Invers kartläggning // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.