Enhetlig operatör

En enhetsoperator är en avgränsad linjär operator : → på ett Hilbertrum som uppfyller relationen $U$ $H$ $H$ $H$

U^{*}U=UU^{*}=I

var är den hermitiska adjointoperatorn för k, och : → identitetsoperatorn. Den här egenskapen motsvarar följande: $U^{*}$ $U$ $jag$ $H$ $H$

$U$ bevarar den inre produkten〈 , 〉 av Hilbertrummet, det vill säga för alla vektorer och i Hilbertrummet $x$ $y$ $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .$
$U$ är en surjektiv operator.

Detta motsvarar också det till synes svagare tillståndet:

$U$ bevarar punktprodukten , och
bilden är en tät uppsättning . $U$

För att se detta, notera att det är isometrisk (och därför en avgränsad linjär operator). Detta följer av att prickprodukten konserverar. Bilden är en tät uppsättning . Det är uppenbart att = . $U$ $U$ $U$ $U^{-1}$ $U^{*}$

Ett enhetligt element är en generalisering av begreppet en enhetlig operatör. I en enhetlig *-algebra kallas ett element U i algebra för ett enhetligt element if

U^{*}U=UU^{*}=I

där jag är identitetselementet. [ett]

Egenskaper för enhetliga transformationer:

enhetlig transformationsoperator är alltid inverterbar
om operatören är hermitisk , är operatören enhetlig. $\hat H$ ${\hat U}=\exp(i{\hat H})$

Exempel

Identitetsoperatören är ett trivialt exempel på en enhetlig operatör.
Rotationer in är det enklaste icke-triviala exemplet på en enhetlig operator. Rotationer ändrar inte längden på vektorerna och vinkeln mellan två vektorer. Detta exempel kan också generaliseras till . ${\mathbb {R}}^{2}$ ${\mathbb {R}}^{3}$
I vektorrummet för komplexa tal är multiplikation med ett tal med modulo , det vill säga ett tal av formen för , en enhetlig operator. kallas en fas. Det kan ses att värdet på , som är en multipel av , inte påverkar resultatet, så uppsättningen av oberoende enhetsoperatorer i är topologiskt ekvivalent med en cirkel. $\mathbb{C}$ $ett$ $e^{{i\theta}}$ $\theta \in {\mathbb {R}}$ $\theta$ $\theta$ $2\pi$ $\mathbb{C}$

Egenskaper

Spektrum för enhetsoperatören U ligger på enhetscirkeln. Detta kan ses från spektralsatsen för normaloperatorn . Genom detta teorem är U enhetligt ekvivalent med multiplikation med en Borel mätbar funktion på , för ett visst utrymme med måttet ( , ). Från följer . $f$ $L^{2}(\mu)$ $X$ $\mu$ $UU^{*}=I$ $|f(x)|^{2}=1$

Enhetstransformationer i fysik

Inom kvantmekaniken beskrivs tillståndet för ett kvantsystem av en vektor i ett Hilbertrum . Normen för tillståndsvektorn för ett isolerat kvantsystem beskriver sannolikheten att hitta systemet i åtminstone något tillstånd, vilket betyder att det måste vara lika med ett. Följaktligen är utvecklingen av ett kvantsystem i tiden en viss tidsberoende operator, och på grund av kravet på normbevarande är den enhetlig. Icke-enhetliga evolutionsoperatorer (eller, vad är samma sak, icke-hermitiska Hamiltonianer) för ett isolerat kvantsystem är förbjudna inom kvantmekaniken.

Litteratur

Enhetsoperatör // Uzhi - Fidel. - M .: Soviet Encyclopedia, 1956. - S. 242. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 51 volymer] / chefredaktör B. A. Vvedensky ; 1949-1958, v. 44).

Anteckningar

↑ Doran, Robert S.; Victor A. Belfi. Karakteriseringar av C*-algebras: Gelfand-Naimarks teorem (engelska) . New York: Marcel Dekker , 1986. - ISBN 0824775694 .