Normal operatör

En normal operator är en linjär avgränsad operator i ett Hilbertrum som pendlar med sitt konjugat : . Särskilda fall av normala operatörer är självanslutna operatörer : och enhetsoperatörer : . För normala operatorer gäller spektralsatsen . $N^* N = NN^*$ $A = A^*$ $U^{-1} = U^*$

Expansioner

Additiv sönderdelning. , var är permutationssjälvadjoinerande operatorer , $N = X + i Y$ $X,Y$

X = \frac{1}{2} (N + N^*), \quad Y = \frac{1}{2i}(N - N^*).

Multiplikativ (polär) expansion . , där är en positiv självadjoint operatör , är en enhetlig operatör . Operatörernaochpendlar både med varandra och med vilken linjär operator som helst som pendlar samtidigt medoch. $N=RU=UR$ $R = \sqrt{N^* N}$ $U$ $R$ $U$ $N$ $N^{*}$

Den additiva expansionen liknar uttrycket av ett komplext tal i termer av dess reella och imaginära delar: , och den multiplikativa expansionen liknar representationen i exponentiell form: [1] $z$ $z = x + iy$ $z = re^{i\varphi}.$

Egenskaper

Om operatorn är normal är operatorerna , och den omvända operatorn (om den finns) också normala. [2] $N$ $N^{*}$ $\alpha N + \beta I, \, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$ $N^{-1}$
En linjär kontinuerlig operator i ett Hilbert-rum är normalt om och endast om för varje . $N$ $H$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x\i H$
$\mbox{Ker}\, N = \mbox{Ker}\,N^* = \mbox{Im}\, N^{\perp}$ . Här är kärnan och är bilden av operatören . $\mbox{Ker}\, N$ $\mbox{Im}\, N$ $N$
Om för några och , då . $N x = \alfa x$ $x \i H$ $\alpha \in \mathbb{C}$ $N^* x = \bar \alfa x$
Egenrymden som motsvarar olika egenvärden för normaloperatorn är ortogonala . [3]
Permutabilitetssatsen. Låt vara linjära kontinuerliga operatorer och låt operatorerna och vara normala. Om , då . I synnerhet om en operator pendlar med den normala operatorn pendlar den med konjugatet . [fyra] $M, N, T$ $M$ $N$ $MT=TN$ $M^* T = TN^*$ $T$ $N$ $N^{*}$
$\| N \| = \upp \{ |(Nx,x)| \kolon x \i H, \, \| x \| \le 1 \}$ [5]
En normal operatör är självadjoint om och endast om dess spektrum ligger på den verkliga axeln . En normal operator är enhetlig om och endast om dess spektrum ligger på enhetscirkeln . [6]
Liknande normala operatorer är enhetligt ekvivalenta, det vill säga om , var är normala operatorer och operatorn är inverterbar , då är där en enhetlig operator . [7] $M = TNT^{-1}$ $M, N$ $T$ $M = UNU^{-1}$ $U$
$\| N^m\| = \| N \|^m$ därför sammanfaller den normala operatorns spektrala radie med dess norm . [2]

Spektralsats

Vilken normal operator som helst motsvarar en familj av projektionsoperatorer , som är additiva och multiplikativa funktioner i en rektangel, så att $N$ $\{E(\delta)\}$

N = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} z E(dx dy), \quad N^* = \int\limits_{-\ infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \bar z E(dx dy),

och generellt sett

q(N, N^*) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} q(z, \bar z) E(dx dy) ,

där är ett godtyckligt polynom i och ; för någon fast rektangel är operatorn gränsen för någon sekvens av polynom i operatorerna och [8] . $q(z, \bar z)$ $z = x + iy$ $\bar z = x - iy$ $\delta$ $E(\delta)$ $N$ $N^{*}$

På basis av den spektrala nedbrytningen av normala operatorer konstrueras en funktionskalkyl för funktionerna

f(N) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z) E(dx dy).

[9]

Fallet med ett ändligt dimensionellt utrymme

I ett ändligt dimensionellt enhetligt rum på ortonormal basis motsvarar en normaloperator en normal matris . Den normala operatören har också följande egenskaper.

En linjär operator är normal om och endast om den har ett ortonormalt system av egenvektorer .
För en normal operator representeras var och en av operatorerna och som ett polynom från en annan av operatorerna; dessutom bestäms dessa två polynom genom att specificera egenvärdena för operatorn . $N$ $N$ $N^{*}$ $N$
Om är ett invariant delrum under operatorn , då är dess ortogonala komplement också ett invariant delrum för . $S$ $N$ $S^{\perp}$ $N$
En matris är normal om och bara om den är enhetligt lik en diagonal matris , dvs där är en enhetlig matris , är en diagonal matris . [tio] $N$ $N = UDU^{-1},$ $U$ $D$

Obegränsat antal operatörer

Begreppet en normal operator generaliseras till obegränsade operatorer. En linjär operator ( inte nödvändigtvis begränsad ) i ett Hilbert - utrymme kallas normal om dess domän är tät i , den är stängd och uppfyller villkoret . För en normal operatör , för alla . Vissa andra egenskaper hos normaloperatorn är också generaliserade, inklusive spektralsatsen . [elva] $N$ $H$ $D(N)$ $H$ $N^* N = NN^*$ $D(N^*) = D(N)$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x \i D(N)$

Se även

Anteckningar

↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , s. 110.
↑ 1 2 Sobolev, 1982 .
↑ Rudin, 1975 , s.12.12.
↑ Rudin, 1975 , s.12.16.
↑ Rudin, 1975 , s.12.25.
↑ Rudin, 1975 , s.12.26.
↑ Rudin, 1975 , s.12.36.
↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , sid. 309.
↑ Rudin, 1975 , s. 12.24.
↑ Gantmakher, 1966 , kapitel 9, § 10.
↑ Rudin, 1975 , kapitel 13.

Litteratur

Sobolev V.I. Normaloperator // Matematisk uppslagsverk : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Föreläsningar om funktionsanalys. — M .: Mir, 1979. — 592 sid.
Rudin W. Funktionsanalys. — M .: Mir, 1975.
Gantmakher F. R. Matrix Theory. - Ed. 2:a, ytterligare .. - M . : Nauka, Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1966.